DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

Copyright © Klaus Piontzik


Zur Geschichte der Quadratur des Kreises

Definition und Vorgeschichte

1.10.0   Definition der Quadratur des Kreises
1.10.1   Zur Vorgeschichte der Quadratur des Kreises
1.10.2   Die Verbindung Ägypten-Griechenland
1.10.3   Die Hinwendung zur Geometrie
1.10.4   Anaxagoras
1.10.5   Hippokrates von Chios
1.10.6   Hippias von Elis
1.10.7   Deinostratus
1.10.8   Nikomedes
1.10.9   Antiphon
1.10.10   Eudoxos
1.10.11   Bryson von Herakleia
1.10.12   Euklid
1.10.13   Archimedes
     
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1.10.0

Definition der Quadratur des Kreises

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Die Quadratur des Kreises wird als ein klassisches Problem der Geometrie bezeichnet und lässt sich in zwei Teilaufgaben einteilen.

1) der so genannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht

2) aus einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren

Werden die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel beschränkt, ist die Aufgabe unlösbar. Dies konnte jedoch erst im Jahr 1882 vom deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.

Die Quadratur des Kreises gehört mit zu den populärsten Problemen der Mathematik. Jahrhundertelang suchten neben Mathematikern auch immer wieder Laien vergeblich nach einer Lösung. Der Begriff „Quadratur des Kreises“ ist daher in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden.
 
Quadratur des Kreises

 

 

1.10.1

Zur Vorgeschichte der Quadratur des Kreises

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Bereits in den alten Hochkulturen gab es Verfahren zur Berechnung von Kreisflächen. In der 50ten Aufgabe des Papyrus Rhind (um 1650 v. Chr.) wird als Fläche des Kreises vom Durchmesser 9 das Quadrat der Seitenlänge 8 angegeben, was einem recht genauen Wert für die Kreiszahl π von 313/81 = 3,16… entspricht.
Derartige Musterlösungen wurden aus der Praxis gewonnen und waren für die Praxis bestimmt. Es gab keine weitergehenden theoretischen Überlegungen, insbesondere wurde kein Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherung gemacht.

Papyrus Rhind
 
Eine deduktive Vorgehensweise in der Mathematik, bei der durch Beweise gestützte Sätze die Musteraufgaben ersetzen, entwickelte sich erst ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. in Griechenland.
 

 

1.10.2

Die Verbindung Ägypten-Griechenland

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Die Griechen werden heute noch oft als die Erfinder der Mathematik dargestellt. Dies ist so nicht richtig. Die griechische Mathematik ist nicht aus dem Nichts entstanden, sondern geht aus dem Fundus der damals bekannten Konstruktionen und Überlegungen der Antike (also Ägypten und Zweistromland) hervor.

Eine Reihe griechischer Mathematiker, am bekanntesten sind Thales (624-546 v. Chr.) und Pythagoras (570-510 v. Chr.), reisten nach Ägypten und ins Zweistromland um sich dort in die Mathematik überhaupt erst einweisen zu lassen. Also etwa 1000 Jahre nach Papyrus Moskau und Rhind !
Die Konstruktion des (Thales)Kreises über einem rechtwinkligen Dreieck war sowohl den Ägyptern als auch den Babyloniern schon bekannt. Erst Thales erkannte die Allgemeinheit der Konstruktion und bewies sie auch. Daher sprechen wir heute vom Halbkreis bzw. vom Satz des Thales.

Die Babyloniern besaßen Keilschrifttafeln mit Listen von sogenannten pythagoreischen Zahlen, also Zahlentripel durch die ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt ist. Aus Ägypten stammt die sogenannte Zwölf-Knoten-Schnur, die entsprechend gefaltet (3:4:5) ein rechtwinkliges Dreieck bildet und in der Landvermessung benutzt wurde.
Aber erst Pythagoras erkannte die Essenz in der Konstruktion und den Zahlenverhältnissen. Er war der erste der diese Beziehungen auch allgemein beweisen konnte. Daher sprechen wir heute vom Satz des Pythagoras.

Die griechischen Mathematiker schöpften aus dem reichhaltigen Fundus der bis dahin überlieferten mathematischen Aufgaben und Überlegungen der Antike. Der Weg des Wissens ging über Ägypten und Babylon ins griechische Kleinasien und von dort erst nach Griechenland.
Die Griechen waren die Ersten die durch Anwendung bestimmter Denkstrategien wie Analyse also Deduktion aufs Wesentliche, Axiomenbildung und Beweis, der Mathematik das Werkzeug gaben zu einer Wissenschaft zu werden.
Die Wiege der Mathematik aber stand in Ägypten und im Zweistromland. Die Griechen brachten dem Kind lediglich das Laufen bei.
Die Konsequenz ist, dass die Beschäftigung der Griechen mit der Quadratur des Kreises ebenfalls ihre Wurzel in Beispielaufgaben, Konstruktionen und Überlegungen aus der Antike gehabt haben muss. Was auf die Existenz von Konstruktionen mit samt den entsprechenden Zahlenverhältnissen und auch Betrachtungen hinweist, die als Vorläufer für die Griechen gedient haben müssen.
 
 

 

1.10.3

Die Hinwendung zur Geometrie

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Hippasos von Metapont war ein griechischer Mathematiker und Musiktheoretiker und gehört zu den bekanntesten Pythagoreern der Frühzeit. Er lebte im späten 6. und frühen 5. Jahrhundert v. Chr. Mit seiner Entdeckung der inkommensurabler Strecken, stellte sich heraus, dass es konstruierbare Objekte gibt (beispielsweise die Diagonale eines Quadrates), die nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellbar sind.
Als Folge dieser Entdeckung trat die Arithmetik zugunsten der Geometrie in den Hintergrund, Gleichungen wurden jetzt geometrisch gelöst, etwa durch Aneinanderlegung von Figuren und/oder durch Überführung verschiedener Figuren in Dreiecke, Rechtecke oder Quadrate.
Neben der Dreiteilung dei Winkels, der Verdopplung des Würfels (Delphisches Problem) war die Quadratur des Kreises eines der klassischen Probleme der antiken griechischen Mathematik.
Die Aufgabe der Kreisquadratur war, zu einem gegebenen Kreis, nur mit Hilfe von Lineal und Zirkel, ein umfang- bzw. flächengleiches Quadrat zu konstruieren.
Eine Beschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal wurde dabei anfänglich nicht generell gefordert. Während der Beschäftigung mit den klassischen Problemen wurden daher auch schon früh Lösungen gefunden, die auf weitergehenden Hilfsmitteln basierten.
Es kristallisierte sich im Lauf der Zeit aber eine Haltung heraus, die eine möglichst weitgehende Beschränkung, also auf Zirkel und Lineal, verlangte. Die Konstruktion sollte auch in einer begrenzten Anzahl von Schritten bewältigt werden. Spätestens seit Pappos (um 300 n. Chr.) war diese weitest gehende Beschränkung zur allgemeinen Regel geworden.
 
 

 

1.10.4

Anaxagoras

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Anaxagoras (499-428 v. Chr.) war ein Vorsokratiker und stammt aus Klazomenai in Kleinasien. Er ging um das Jahr 462 v. Chr. nach Athen und machte dort seine Lehren bekannt und erlebte den politischen Durchbruch zur entwickelten Attischen Demokratie. Mit Anaxagoras gelangte die ionische Aufklärung nach Athen.
Anaxagoras verbrachte die wichtigsten Jahrzehnte seines Lebens in Athen und stand dem leitenden Staatsmann Perikles als philosophischer Lehrer und Berater nahe. Auch der Tragödiendichter Euripides ließ sich von ihm in das philosophische Denken und Forschen einführen.
Um ca. 430 v. Chr. wird Anaxagoras der Gottlosigkeit angeklagt, durch den Einfluss des Perikles zwar vor der Todesstrafe gerettet, aber auf Dauer verbannt.
Seine letzten zwei, drei Lebensjahre verbrachte er in Lampsakos im Exil. Sein Werk „Über die Natur“ wurde für eine Drachme in Athen unter der Hand verkauft und beeindruckte auch Sokrates.
Dem griechischen Schriftsteller Plutarch (45-125 n. Chr.) zufolge soll Anaxagoras im Gefängnis die Quadratur des Kreises aufgeschrieben oder gezeichnet haben. Nähere Angaben zur Konstruktion von Anaxagoras macht Plutarch jedoch nicht.
 
 

 

1.10.5

Hippokrates von Chios

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Hippokrates von Chios war ein antiker griechischer Mathematiker und Astronom. Er lebte um die Mitte oder in der zweiten Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr.
Hippokrates soll als erster ein Lehrbuch der Mathematik verfasst haben. Es ist verloren; auch sonst ist von seinen Werken nichts erhalten geblieben. Daher können seine Leistungen nur indirekt aus späterer Literatur erschlossen werden. Unter anderem befasste er sich mit dem Problem der Verdoppelung des Würfels („Delisches Problem“), dass er einer Lösung näherbrachte, indem er es in die Planimetrie verlagerte.
Über sein Leben liegen keine sicheren Informationen vor. Unzweifelhaft ist seine Herkunft von der Insel Chios. In Anekdoten wird erzählt, dass er auf einer Seereise um sein Vermögen gebracht wurde. Er soll in Athen gelebt haben. Mitunter wird vermutet, er sei von den Pythagoreern beeinflusst gewesen.

Nach ihm sind die Möndchen des Hippokrates benannt, bestimmte von Kreisbögen eingeschlossene Flächen, deren Quadratur ihm gelang. Von den Möndchen ausgehend versuchte er die Quadratur des Kreises.
Ausgehend von dem bei ihm noch als Axiom benutzten Satz, dass sich die Flächen ähnlicher Kreissegmente wie die Quadrate über ihren Sehnen verhalten, gelang es Hippokrates, von Kreisbögen begrenzte Flächen, die so genannten „Möndchen des Hippokrates“, zu quadrieren.
Möndchen des Hippokrates Die Summe der „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Da nur bestimmte Möndchen, z.B. die über der Seite des Quadrates, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks, quadrierbar sind ist die allgemeine Quadratur des Kreises auf diese Weise jedoch nicht zu erreichen.

Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate oder die Addition zweier Quadrate war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen.

Die grundlegende Frage, ob auch krummlienig begrenzte Flächen exakt in Quadrate überführt werden können, konnte um 440 v. Chr. erstmalig von dem Mathematiker und Astronom Hippokrates von Chios positiv beantwortet werden.
So konnte man also bereits im antiken Griechenland nachweisen, dass auch krummlienig begrenzte Flächenstücke durch rationale Zahlen berechnet werden können.

 
 

 

1.10.6

Hippias von Elis

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Hippias von Elis war ein enzyklopädisch gebildeter Sophist des ausgehenden 5. Jahrhunderts v. Chr. aus Elis.
Er war ein jüngerer Zeitgenosse des Protagoras, und wurde von Platon in zwei Dialogen (Hippias Minor und Hippias Maior) sowie im Dialog Protagoras dargestellt.
Hippias war der Erfinder der kinematisch erzeugten Kurve Quadratrix, die zur Lösung von zweien der drei Probleme der griechischen Geometrie, der Drittelung eines Winkels und der Quadratur des Kreises, verwendet wurde.
Quadratrix Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v. Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die so genannte Quadratrix (rot).Mechanisch gesehen kann sie durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt werden.


Die Quadratrix ist eines der ältesten Beispiele einer kinematisch erzeugten Kurve.

 
 

 

1.10.7

Deinostratos

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Deinostratos (ca. 390 v. Chr. bis ca. 320 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker und Geometer und Bruder von Menaichmos. Er ist dadurch bekannt, dass er die Quadratrix des Hippias zur Lösung des Problems der Quadratur des Kreises entwickelte.
Deinostratos’ Hauptbeitrag zur Mathematik war seine Lösung der Quadratur des Kreises. Um dieses Problem zu lösen, nutzte Deinostratos die Trisektrix von Hippias von Elis, die dann später – nachdem Deinostratos das Problem gelöst hatte – als Quadratrix bekannt wurde.
Obwohl Deinostratos dieses Problem löste, benutzte er hierfür nicht allein Lineal und Zirkel und daher war es für die Griechen klar, dass seine Lösung gegen die fundamentalen Prinzipien ihrer Mathematik verstoßen hatte.
Deinostratos konnte zeigen, dass mit Hilfe der Quadratrix, die Strecke der Länge 2/π (und damit mit Hilfe weiterer elementarer Konstruktionen ein Quadrat der Fläche π) konstruiert werden kann. So gelang ihm die Rektifikation des Viertelkreisbogens und die Quadratur des Kreises. Die Quadratrix selbst ist jedoch eine so genannte transzendente Kurve, also nicht mit Zirkel und Lineal erzeugbar. Daher war die Lösung im strengen klassischen Sinne damit nicht erreicht.
 
 

 

1.10.8

Nikomedes

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Nikomedes (um 280 v. Chr. bis um 210 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, der um die Wende des 3. zum 2. Jahrhundert vor Christus lebte.

Konchoide des Nikomedes Nikomedes führte die sogenannte Konchoide des Nikomedes (Muschelkurve) ein, mit deren Hilfe er geometrische Probleme der Antike lösen konnte.


Zu den Lebensdaten des Nikomedes liegen keine genauen Quellen vor. Nikomedes nimmt jedoch in seinen Schriften auf das Werk des Eratosthenes (276/273 v. Chr.-194 v. Chr.) Bezug. Danach müsste er etwa um die gleiche Zeit wie Eratosthenes oder etwas später gelebt haben. Die Bezeichnung bestimmter Kurven als Konchoid-ähnlich in den Überlieferungen des Apollonios von Perge (262 v. Chr.–190 v. Chr.) kann auch als Bezug auf Nikomedes Werk ausgelegt werden, woraus abgeleitet wird, das Apollonios etwa um die gleiche Zeit wie Nikomedes oder etwas später gelebt haben muss.

Außerdem befasste sich Nikomedes mit der Quadratur des Kreises. Er soll ebenfalls die von Hippias von Elis angegebene Quadratrix zur Quadratur des Kreises verwendet haben.
In historischen Quellen wird die Quadratrix bei Proklos (412-485), Pappos (3./4. Jahrhundert) und Lamblichos (ca. 240-325) erwähnt. Proklos gibt Hippias als den Entdecker einer als Quadratrix bezeichneten Kurve an und beschreibt an einer anderen Stelle, wie Hippias diese Kurve zur Dreiteilung eines beliebigen Winkels verwendet.

Pappos hingegen beschreibt, wie eine als Quadratrix bezeichnete Kurve von Dinostratos, Nikomedes und anderen zur Quadratur des Kreises verwendet wurde. Dabei erwähnt er jedoch weder Hippias namentlich, noch benennt er explizit einen Entdecker der Kurve.

Lamblichos gibt lediglich in einem kurzen Satz an, dass Nikomedes eine als Quadratrix bezeichnete Kurve zur Quadratur des Kreises verwendet hat.

Obwohl es aufgrund der Bezeichnung der Kurve als Quadratrix bei Proklos denkbar ist, dass Hippias die Kurve auch selbst zur Quadratur verwendet hat, wird diese Quellenlage von Mathematikhistorikern meist so gedeutet, dass Hippias die Kurve zwar entdeckt, aber selbst nur zur Dreiteilung des Winkels verwandt hat und ihre Anwendung zur Quadratur auf spätere Mathematiker, insbesondere Dinostratos und Nikomedes zurückgeht.

 
 

 

1.10.9

Antiphon

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Antiphon aus Athen war ein griechischer Philosoph und Sophist des 5. Jahrhunderts v. Chr., der mit einem Dichter, Tragiker und Traumdeuter identifiziert wird. Der eine Kunst, kummerfrei zu leben, verfasste und von dem Cicero Hinweise auf eine Schrift über Traumdeutung überliefert. Schließlich sind unter Antiphons Namen auch Überlegungen zur Mathematik überliefert. Umstritten ist seine Identität mit dem Redner Antiphon.

Der Sophist Antiphon verfasste u. a. zwei Schriften über den Gemeinsinn und über die Wahrheit. Aus beiden waren nur kümmerliche Zitate überliefert, bis im 20. Jh. im ägyptischen Oxyrhynchos Papyros-Fragmente mit längeren Abschnitten aus Antiphons Schrift über die Wahrheit gefunden wurden. Da diese für eine Gleichheit aller Menschen (bzw. genauer gesagt Männer) eintreten und sich gegen die Unterscheidung von 'Griechen' und 'Barbaren' aussprechen, kann dies als Argument gegen die Identität mit dem als Oligarchen bekannten Redner Antiphon betrachtet werden.

Antiphon war der Meinung, das die Quadratur des Kreises und damit die exakte Bestimmung von Pi möglich sein müsse. Jedes Dreieck lässt sich in ein Quadrat überführen. Daher lässt sich auch jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln. Seine Idee ging davon aus, dem Kreis (regelmäßige) Vielecke mit immer größerer Seitenzahl einzuschreiben, so dass diese schließlich nicht mehr vom Kreis zu unterscheiden sind und damit der Kreis völlig "erschöpft" ist.
Auf Grund dieser Vorgehensweise nennt man diese Technik Exhaustions-Methode. Der lateinische Ausdruck heißt "exhaurire", was herausnehmen, erschöpfen, vollenden bedeutet.
 
 

 

1.10.10

Eudoxos

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Eudoxos von Knidos (zwischen 397 und 390 v. Chr. in Knidos, Kleinasien bis zwischen 345 und 338 v. Chr. in Knidos) war ein berühmter griechischer Mathematiker, Astronom, Geograph, Arzt, Philosoph und Gesetzgeber der Antike.
Seine Werke sind bis auf Fragmente verloren. Daher sind seine wissenschaftlichen Leistungen nur aus Berichten anderer Autoren bekannt bzw. zu erschließen. Mit seiner mathematischen Darstellung der Himmelskörperbewegungen leistete er einen maßgeblichen Beitrag zur Geometrisierung der Astronomie.
In der Mathematik begründete er die allgemeine Proportionenlehre. Dabei konnte er erstmals die irrationalen Größen einbeziehen, da seine Proportionenlehre auch auf inkommensurable Größen anwendbar ist. Seine Definitionen von Verhältnis und Proportion sind im fünften Buch von Euklids Elementen überliefert.
In der Forschung ist vermutet worden, dass das nach Archimedes benannte Archmedische Axiom in Wirklichkeit von Eudoxos stammt. Die Ausgangsproblematik hat Eudoxos offenbar gekannt, doch inwieweit er sich damit auseinandergesetzt hat, ist unklar.

Eudoxos befasste sich mit dem in der Antike intensiv diskutierten Problem der Würfelverdoppelung („Delisches Problem“). Er fand dafür eine nicht näher bekannte Lösung durch den Schnitt von Kurven; deren Schnittpunkte ergaben die zur Lösung des Problems erforderlichen zwei mittleren Proportionalen zur Kante des gegebenen und der des gesuchten Würfels. Ferner erfand Eudoxos, wie Plutarch berichtet, auch eine mechanische Vorrichtung zur annähernden Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen.
Um 365/364 reiste Eudoxos in Begleitung eines Mitbürgers, des Arztes Chrysippos, nach Ägypten. Ein Empfehlungsschreiben des Königs Agesilaos II. von Sparta ebnete ihm den Weg zum Pharao Nektanebos I. Der Aufenthalt dauerte sechzehn Monate. Sein besonderes Interesse galt den Kenntnissen der ägyptischen Priester, in deren Astronomie er sich Einblick verschaffte.
Zu den Schülern des Eudoxos gehörten der Arzt Chrysippos, der ihn nach Ägypten begleitete, die Mathematiker Menaichmos und Deinostratos und der Astronom Polemarchos von Kyzikos.

Eudoxos untersuchte die Volumenverhältnisse von Körpern und zeigte, dass das Volumen einer Pyramide einem Drittel des entsprechenden Prismas und dasjenige eines Kegels einem Drittel des entsprechenden Zylinders entspricht. Für seinen Beweis verwendete er ein infinitesimales Berechnungsverfahren, die Exhaustionsmethode. Mit dieser Methode konnte er auch das Verhältnis der Kreisfläche und des Kugelvolumens zum Radius bestimmen.
Durch die Idee des Exhaustionsverfahren inspiriert, entwickelte Eudoxos von Knidos die Exhaustionsmethode zu einem funktionierenden Verfahren und berechnete so das Volumen von Pyramide und Kegel.

Die Aussage von Antiphon setzt das Wissen bzw. die Idee voraus, dass eine Kreisfläche in ein Quadrat überführt werden kann.
Wie beim Papyrus Rhind zu sehen war, setzten die Ägypter die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser 9 einem Quadrat mit der Seitenlänge 8 gleich, d.h. die Idee einen Kreis in ein Quadrat zu transformieren stammt damit von den Ägyptern bzw. letztlich aus dem allgemeinen Fundus der antiken Mathematik.

Anaxagoras, Hippokrates von Chios, Hippias von Elis, Deinostratos, Nikomedes und Antiphon greifen auf die Idee der Quadrierung aus der Antike zurück. Dann kann Antiphon, durch das Exhaustionsverfahren, aber als Erster aufzeigen, dass die Quadratur der Kreisfläche eine legitime (weil berechenbare) Konstruktion darstellt.
Unter der Vorraussetzung das bei zwei gegebenen Quadraten immer ein Proportionalitätsfaktor existiert, lässt sich auch direkt diese Aussage folgern: Das Quadrat aus dem Durchmesser ist proportional zum Quadrat das die Kreisfläche darstellt. Damit ist das Durchmesserquadrat auch proportional zur Kreisfläche.
Dieser Zusammenhang wurde erst 100 Jahre später durch Euklid publiziert, muss aber schon zu Zeiten Antiphons bekannt gewesen sein.
 
 

 

1.10.11

Bryson von Herakleia

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Bryson von Herakleia (450-390 v. Chr.) war Mathematiker und Philosoph aus Herakleia Pontike. Er war ein Schüler des Euklid von Megara.
Bryson ging noch einen Schritt weiter als Antiphon und berechnete die Fläche von zwei Vielecken. Eines das den Kreis von innen begrenzte und eines zweiten das den Kreis von außen umschloss. Die Fläche des Kreises, so folgerte Bryson, müsse zwischen den Flächen der beiden Vielecke liegen.
Bryson näherte den Kreis durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke an und schloss mit Hilfe des Axioms „Wozu es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dazu gibt es auch ein Gleiches“ auf die Existenz eines dem Kreis flächengleichen Vielecks.
Damit legten Antiphon und Bryson den Grundstein für die erfolgreiche Arbeit vieler Mathematiker in späterer Zeit, nicht zuletzt des Archimedes, der eben diese Methodik ausbaute und für seine Kreisberechnung benutzte.
 
 

 

1.10.12

Euklid

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Euklid von Alexandria (360-280 v. Chr.) war Mathematiker. Die überlieferten Werke umfassen sämtliche Bereiche der antiken griechischen Mathematik: das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie (Die Elemente, Data), Musiktheorie (Die Teilung des Kanon), eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlösungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus (Porismen) sowie die physikalischen bzw. angewandten Werke (Optik, astronomische Phänomene).
In seinem berühmten Werk „Die Elemente“ (vermutlich um 325 v. Chr. entstanden) leitete er die Eigenschaften geometrischer Objekte, der natürlichen Zahlen und bestimmter Größen aus einer Menge von Axiomen (Elementaraussagen) ab. Sein axiomatische Methode wurde zum Vorbild für die gesamte spätere Mathematik.
Er trug das mathematische Wissen seiner Zeit zusammen und gibt uns damit einen guten Überblick über den mathematischen Kenntnisstand der Griechen gegen Ende des 4. Jahrhunderts v. Chr.
Viele Sätze der Elemente stammen nicht von Euklid selbst. Seine Hauptleistung besteht in der Sammlung und einheitlichen Darstellung mathematischen Wissens.

Euklid gelang der Beweis, das 3 < π < 4 gilt.

Doch erst Archimedes konnte rund 100 Jahre später diese Ungleichung verfeinern.

Euklid gibt in seinen Elementen Buch XII, § 2 an, dass sich die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.

AKreis ≈ d2

Diese Proportionalität taucht hier so ganz unvermittelt aus dem Dunkel der Geschichte auf, muss aber schon länger bekannt gewesen sein. Denn diese Proportionalität konnte bereits 100 Jahre früher, nämlich aus der Aussage des Antiphon gefolgert werden.
Wenn die Fläche eines Kreises proportional zu einer Quadratfläche ist, dann existiert ebenfalls ein Proportionalitätsfaktor zwischen dieser Quadratfläche und dem Quadrat aus dem Durchmesser. Damit ist insgesamt die Kreisfläche proportional zum Quadrat des Durchmessers. Die Frage die hier auftaucht, ist die nach der Größe des Proportionalitätsfaktors. Und diese Frage werden sich die Griechen auch gestellt haben.

Und dies ist ein Indiz für die Existenz mindestens einer Quadraturkonstruktion. Wenn eine Quadratur des Kreises als Konstruktion existierte, dann ist es logisch das es auch einen Proportionalitätsfaktor zwischen dem Quadrat aus dem Durchmesser und dem Quadrat aus der Quadrierung (Kreisfläche) gibt.

Es ist davon auszugehen, dass Euklid in seinen Werken nur gesichertes Material aufgenommen hat, also die Proportionalität Kreisfläche zum Durchmesserquadrat zur damaligen Zeit eine allgemein bekannte war.
Ausgehend bzw. ableitbar von einer Quadraturkonstruktion müssen damals schon Zahlenverhältnisse also Proportionalitätsfaktoren bekannt gewesen sein. Weil aber auch bekannt war, dass es sich um Näherungen handelte, hat Euklid in seinem Werk darauf verzichtet hier ein Zahlenverhältnis zu nennen und sich nur auf die Proportionalität von Kreisfläche und Durchmesserquadrat beschränkt.

 
 

 

1.10.13

Archimedes

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Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike, der u.a. die Gesetze für den Auftrieb, den Hebel und den Flaschenzug fand. Eine ausführliche Abhandlung von Archimedes mit dem Titel „Kreismessung“ ist dokumentarisch überliefert. Archimedes beweist in seiner Arbeit drei grundlegende Sätze:

Satz 1: Die Fläche eines Kreises ist gleich der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, mit dem Kreisradius als der einen und dem Kreisumfang als der anderen Kathete.

Berechnen lässt sich die Kreisfläche dann als

AKreis = ½ · Radius · Umfang

Archimedes beweist den Satz indirekt. Indem er die Fläche des Kreises einmal als größer und einmal als kleiner als die Dreiecksfläche annimmt. Beide Aussagen werden dann zum Widerspruch geführt. Die Konsequenz ist daher, dass die Kreisfläche nur gleich der Dreiecksfläche sein kann.

Nach heutiger Sicht hat Archimedes mit diesem Satz das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises (aus dem vorgegebenen Radius) zurückgeführt. Und damit auf die Konstruierbarkeit von π.
Mit diesem Satz taucht auch hier wieder unvermittelt ein Wissen auf, dass schon länger bekannt gewesen sein muss bzw. für das es Vorläufer gegeben haben muss. In diesem Satz verborgen steckt das Wissen das die Kreisfläche proportional zum Produkt aus Radius und Umfang ist.

Wie zu sehen war, lässt sich die Proportionalität von Kreisfläche und Durchmesserquadrat schon aus der Aussage von Antiphon folgern. Das ließe sich allgemein so formulieren:

AKreis = d2 · Faktor1

Man kann voraus setzen das eine Rektifikation des Kreises bekannt war, und damit auch diese Beziehung

UKreis = d· Faktor2

Bildet man das Produkt Durchmesser mal Umfang dann ergibt sich:

d· UKreis = d· (d· Faktor2) = d2· Faktor2

Also ist das Rechteck aus Durchmesser (Radius) und Umfang auch proportional zum Durchmesserquadrat bzw. zur Kreisfläche. Das müsste schon zu Zeiten Antiphons bekannt gewesen sein. Und ohne zu wissen das es nur einen einzigen Proportionalitätsfaktor gibt.
Außerdem ist in dem Satz über die Kreisfläche auch das Wissen enthalten das bei Rektifikation und Quadratur des Kreises nur ein Proportionalitätsfaktor nämlich Pi existiert. Hier könnte es ebenfalls Vorläufer gegeben haben, denn diese Zusammenhänge sind auch in der Rektifikationskonstruktion über das 14:11 Dreieck enthalten, wenn man diese zur Quadratur erweitert. Die von Archimedes angegebene Gleichung:

AKreis = ½ · Radius · Umfang

Durch eine kleine Umstellung der Gleichung entsteht:

AKreis = Radius · Umfang/2

Und dies lässt sich unmittelbar als ein Rechteck interpretieren, mit den Seitenlängen r und U/2. Dieses Rechteck lässt sich auch direkt aus der Rektifikationskonstruktion über das 14:11 Dreieck ableiten. Siehe Quadratur 1

Quadrat und Kreis besitzen den gleichen Umfang, also ist eine Quadratseite gleich U/4.

Durch Anlegen einer Quadratseite an eine zweite Quadratseite entsteht eine Strecke mit der Länge U/2.

Das blaue Rechteck ist dann das Rechteck Radius mal Umfang Halbe und entspricht also der Kreisfläche.

Durch die komplette Abwicklung des Umfanges lässt sich das archimedische Dreieck dann leicht konstruieren.


Insgesamt ist die Konsequenz das die Beziehung AKreis ≈ Radius · Umfang also schon länger bekannt gewesen sein muss.
Es ist daher sehr wahrscheinlich das Archimedes, genau wie Thales und Pythagoras, bei seinem ersten Satz aus dem Fundus der allgemein bekannten Überlegungen und Konstruktionen schöpfte.
Die Genialität liegt darin das er als Erster eine exakte Gleichung für die Kreisfläche angeben konnte und diesen Sachverhalt durch ein rechtwinkliges Dreieck derart darstellte, das Umfang und Fläche des Kreises so miteinander verknüpft sind, das nur ein Proportionalitätsfaktor (nämlich Pi) existiert.

Satz 3: Der Umfang eines Kreises ist größer als 3 10/71 und kleiner als 3 1/7 des Durchmessers.

Daraus folgt direkt:

Ungleichung 1 für Pi bzw. Ungleichung 2 für Pi


Archimedes greift hier den Gedanken von Bryson auf, nämlich der beliebigen Annäherung des Kreises durch eingeschriebene und umschreibende regelmäßige Vielecke. Ausgehend vom eingeschriebenen Sechseck und einem umschreibenden Dreieck gelangt Archimedes, durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl, jeweils bis zum 96-Eck.
Eine Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergibt die genannten Schranken. Und gleichzeitig wird, durch die obere Schranke der Ungleichung, eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl, nämlich 22/7 angegeben. Ein Wert, der für praktische Zwecke, bis heute Verwendung findet.

Archimedes liefert damit als Erster ein vollständiges Verfahren zur Ermittlung der Kreiszahl. Dieses Verfahren war bis ins 17. Jahrhundert praktisch das wichtigste Verfahren zur Bestimmung der Kreiskonstanten. Erst mit der Arbeit von Huygens war der rein geometrische Ansatz zur Bestimmung der Kreiszahl im wesentlichen ausgeschöpft.

Satz 2: Die Fläche eines Kreises verhält sich zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie 11/14.

Also:

AKreis = d2 · 11/14

Der zweite Satz ist eine Folgerung aus den beiden anderen Sätzen. Das sich die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält, war ja bereits seit Antiphon bekannt und erstmals 100 Jahre zuvor von Euklid angegeben worden. Archimedes gibt hier als Erster explizit den Wert der Proportionalitätskonstanten mit 11:14 an.

Mit den drei Sätzen des Archimedes ist auch die Rektifikation des Kreises also die Umfangsbestimmung eindeutig gegeben. Es gilt:

AKreis = ½ · Radius · Umfang = ½ · r · U = ¼ · d · U
A
Kreis = d2 · 11/14 = r2 · 22/7

Zusammen genommen ergibt sich:

¼ · d · U = AKreis = d2 · 11/14

Umstellen der Gleichung zum Umfang hin ergibt:

U = d · 11/14 · 4 = d · 22/7

U = d · 22/7 = r · 44/7

In einer weiteren Arbeit „Über Spiralen“ beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten Spirale, die durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird.
Er zeigt, dass durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann.
Auf die damit geleistete Quadratur des Kreises verweisen erst spätere Kommentatoren hin. Archimedes selbst macht hierzu keine Aussage. Wie bei der Quadratrix sind weder die Spirale selbst noch ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

 
 

 

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