DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

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Die Quadratur des Kreises - Rektifikation 1

Die Konstruktion 1

2.1.0   Die Quadratur des Kreises 1 und das Quadratur-Dreieck
2.1.1   Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 1
2.1.2   Die Quadratur-Bedingung
2.1.3   Das Verhältnis für die Seiten
2.1.4   Das Verhältnis für die Winkel
2.1.5   Die Näherung für Pi
2.1.6   Die Näherung für die Seiten
2.1.7   Die Näherung für die Winkel
2.1.8   Das erste Quadratur-Dreieck
     
     
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2.1.0

Die Quadratur des Kreises 1 und das Quadratur-Dreieck

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Konstruktion der Quadratur des Kreises   Die Quadratur des Kreises kann geometrisch wie folgt dargestellt werden:
Nimmt man einen
Kreis und ein Quadrat, die den gleichen Umfang besitzen, und ordnet beide symmetrisch zu einem Mittelpunkt M, in einem kartesischen Koordinatensystem an (Abbildung 1), so läßt sich ein Dreieck ABC konstruieren, dessen Höhe gleich dem Radius des Kreises, und dessen Grundseite gleich einer Quadratseite ist.
Das Dreieck
ABC wird als Quadratur-Dreieck bezeichnet.
Abbildung 1 - Die Quadratur des Kreises - Konstruktion 1    

 

 

2.1.1

Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 1

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Um die Gesamtkonstruktion in ihren Größen bestimmen zu können, müssen die vorkommenden Strecken, anhand Abbildung 1, erst einmal defininiert werden.
 
   
Höhe des Dreiecks
   
Seiten des Quadrates
   
Grundseite Quadratur-Dreieck
Grundseite Schnitt-Dreieck
Gesamtkonstruktion
   
Schnittseite Quadratur-Dreieck
   

 

 

2.1.2

Die Quadratur-Bedingung

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Kreis und Quadrat besitzen gleichen Umfang :

UKreis = UQuadrat 2*pi*R = 4*a

 

 

2.1.3

Das Verhältnis für die Seiten

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Verhältnis für die Seiten
 
d:a = h:s = 4:p

 

 

2.1.4

Das Verhältnis für die Winkel

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Verhältnis für den Winkel alpha
Verhältnis für den Winkel beta

 

 

2.1.5

Die Näherung für Pi

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Die bisherigen Betrachtungen sind mathematisch exakt. In der Konstruktion aber, wie in Abbildung 1 dargestellt, ist dies durch Zirkel und Lineal nicht lösbar. Für die geometrische Konstruktion müssen die einzelnen Längen erst durch eine Rechnung ermittelt werden.
 
Dieser Umstand läßt sich vereinfachen, wenn für p eine Näherung benutzt wird. Wie schon im ersten Kapitel dargestellt, besteht die einfachste Annäherung an p in der Anwendung eines Teiles der archimedischen Ungleichung:
 
archimedische Ungleichung

 

 

2.1.6

Die Näherung für die Seiten

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Für die Gesamtkonstruktion bzw. das Quadratur-Dreieck ergibt sich dann folgendes Verhältnis:
 
Näherung für die Seiten
 
Für das Höhen/Seitenverhältnis der Schnitt-Dreiecke gilt dann:
 
h:s = 14:11

 

 

2.1.7

Die Näherung für die Winkel

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Für die Winkel gilt mit dieser Näherung:
 
Näherung für den Winkel alpha
Näherung für den Winkel beta

 

 

2.1.8

Das erste Quadratur-Dreieck

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Quadratur-Dreieck gebildet aus den Schnitt-Dreiecken   Nimmt man ein rechtwinkliges Dreieck, (in Abbildung 1 bzw. 2 entsprechend den Schnitt- Dreiecken MBC bzw. MAC) mit dem Höhen/Seiten - Verhältnis 14:11, so läßt sich daraus auch die komplette Quadratur aus Abbildung 1 ableiten.
Aus Abbildung 2 wird erkenntlich, wie mittels eines Schnitt-Dreieckes und dessen Entwicklung,
durch Spiegelung, das Quadratur-Dreieck 1 erzeugt wird.
Der nächste Schritt wäre die weitere
Entfaltung in die Gesamtkonstruktion 1, also die Erzeugung des Kreises und des Quadrates.
Abbildung 2 - Das Quadratur-Dreieck 1    
     
Somit steht eine Technik zur Verfügung, die es gestattet einen Kreis in ein umfanggleiches Quadrat, oder umgekehrt ein Quadrat in einen umfangsgleichen Kreis, auf geometrischen Wege, zu transformieren.

 

 

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