DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG

Copyright © Klaus Piontzik


Die Quadratur des Kreises - Rektifikation 2

Die Konstruktion

3.1.0   Die Quadratur des Kreises 2
3.1.1   Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 2
3.1.2   Die Quadratur-Bedingung
3.1.3   Das Verhältnis für die Seiten
3.1.4   Das Verhältnis für die Winkel
3.1.5   Die Näherung für Pi
3.1.6   Die Näherung für die Seiten
3.1.7   Die Näherung für die Winkel
3.1.8   Das zweite Quadratur-Dreieck
     
     
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3.1.0

Die Quadratur des Kreises 2

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Konstruktion der Quadratur des Kreises   Es existiert, wie weiter oben schon erwähnt, eine weitere Quadratur-Konstruktion, die Umfangsgleichheit liefert, und mit einem Dreieck ABC (siehe dazu Abbildung 3) realisiert wird, das nicht nur ein anderes Höhen / Seiten - Verhältnis besitzt, sondern auch in der Gesamt-Konstruktion abweicht.

Die Höhe des Dreiecks ist hier gleich einer Quadratseite. Die Grundseite des Dreiecks ist gleich dem Durchmesser des Kreises.

Dieses Dreieck ABC wird hier in der Folge als Quadratur-Dreieck 2 bezeichnet.

Abbildung 3 - Die Quadratur des Kreises 2    

 

 

3.1.1

Definition der Strecken der Quadratur-Konstruktion 2

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Es müssen auch hier erst einmal einige Definitionen bezüglich der vorkommenden Strecken, anhand Abbildung 3, getätigt werden.
 
   
Höhe des Dreiecks
   
Seiten des Quadrates
   
Grundseite Quadrat
Grundseite Schnitt-Dreieck
 
Schnittseite Quadratur-Dreieck
   

 

 

3.1.2

Die Quadratur-Bedingung

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Kreis und Quadrat besitzen gleichen Umfang :

UKreis = UQuadrat 2*pi*R = 4*a

 

 

3.1.3

Das Verhältnis für die Seiten

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Verhältnis für die Seiten

 

 

3.1.4

Das Verhältnis für die Winkel

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Verhältnis für den Winkel alpha
Verhältnis für den Winkel beta

 

 

3.1.5

Die Näherung für Pi

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Die bisherigen Betrachtungen sind, wie bei der Kostruktion 1 mathematisch exakt. In der praktischen Konstruktion aber, wie in Abbildung 3 dargestellt, ist dies durch Zirkel und Lineal ebenfalls nicht lösbar. Für die geometrische Konstruktion müssen die einzelnen Längen erst durch eine Rechnung ermittelt werden.

Auch hier läßt sich dieser Umstand vereinfachen, wenn für π eine Näherung benutzt wird. Wie im vorherigen Fall, also der Quadratur 1, besteht die einfachste Annäherung an π mit Hilfe eines Teiles der archimedischen Ungleichung:

 
2*pi*R = 4*a

 

 

3.1.6

Die Näherung für die Seiten

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Für die Gesamtkonstruktion bzw. das Quadratur-Dreieck ergibt sich dann folgendes Verhältnis:
 
Näherung für die Seiten
 
Für das Höhen/Seitenverhältnis der Schnitt-Dreiecke gilt
 
h:s = 11:7

 

 

3.1.7

Die Näherungen für die Winkel

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Für die Winkel gilt mit dieser Näherung:
 
Näherung für den Winkel alpha
Näherung für den Winkel beta

 

 

3.1.8

Das zweite Quadratur-Dreieck

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Quadratur-Dreieck gebildet aus den Schnitt-Dreiecken   Nimmt man also ein rechtwinkliges Dreieck, (in Abbildung 3 bzw. 4 entsprechend den Schnitt- Dreiecken MBC bzw. MAC) mit dem Höhen/Seiten - Verhältnis 11:7, so läßt sich daraus auch die komplette Quadratur aus Abbildung 3 ableiten.
Aus Abbildung 4 wird erkenntlich, wie mittels eines Schnitt-Dreieckes und dessen Entwicklung,
durch Spiegelung, das Quadratur-Dreieck 2 erzeugt wird. Der nächste Schritt wäre die weitere Entfaltung in die Gesamtkonstruktion 2.
Abbildung 4 - Das Quadratur-Dreieck 2    
     
Somit steht eine zweite Technik zur Verfügung, die es gestattet einen Kreis in ein umfanggleiches Quadrat, auf geometrischen Wege, zu transformieren.

 

 

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