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DIE QUADRATUR DES KREISES ALS NÄHERUNGSLÖSUNG
Copyright © Klaus Piontzik
| 2.3.0 | Die Schnittseiten des Quadratur-Dreiecks 1 | |
| 2.3.1 | Die Näherung für die Schnittseiten | |
| 2.3.2 | Die Differenz zwischen genauem und angenäherten Wert | |
| 2.3.3 | Bilanz für die Konstruktion 1 | |
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| 2.3.0 | Die Schnittseiten des Quadratur-Dreiecks 1 |
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| Eine weitere Fehlerabschätzung für die
Quadratur-Konstruktion läßt sich gewinnen, wenn die
Schnitt- Seiten des Quadratur-Dreiecks in Betracht
gezogen werden. In Abbildung 1 entsprechen die Schnitt-Seiten ja den Strecken BC = AC = l. Gleichzeitig sind diese Strecken aber auch die Hypothenusen der rechtwinkligen Schnitt-Dreiecke MAC und MBC. Da Höhe und Seite bekannt sind, kann die Länge der Hypothenuse über den Satz des Pythagoras ermittelt werden. |
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| Die Höhe h ist ja gleich dem Radius r und die Seite s ist gleich der Hälfte der Quadratseite a. Diese Bezüge, in die obige Gleichung eingesetzt, ergeben dann: |
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| Durch Einsetzen der Beziehung a = π × r/2 und Ausklammerung ergibt sich: |
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| 2.3.1 | Die Näherung für die Schnittseiten |
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| Dieses Ergebnis läßt sich sowohl für die genaue als auch für die Näherungslösung benutzen. So das insgesamt also gilt: |
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| 2.3.2 | Die Differenz zwischen genauen und angenähertem Wert |
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| Wie bei der Betrachtung zur Genauigkeit der
Quadratseiten lassen sich die Differenzen zwischen
genauem Wert und Näherungswert zur Bestimmung der
Ungenauigkeit benutzen. Wiederum von einem Einheitskreis ausgehend, lassen sich die Differenzen bei verschiedenen Grössen - verhältnissen darstellen. Wie gehabt, braucht man ja nur den Einheitsradius in 10er Schritten zu vergrößern. Die hier gewählte Größe für den Radius des Grundkreises beträgt ebenfalls 10 cm |
| Kreisradius | Differenz = Näherung - wahrer Wert |
| für die Schnitt-Seiten | |
| 10 cm | 0,019528 mm |
| 1 m | 0,19528 mm |
| 10 m | 1,9528 mm |
| 100 m | 1,9528 cm |
| 1 km | 19,528 cm |
| 10 km | 1,9528 m |
| 100 km | 19,528 m |
Tabelle 4
| Aus der Tabelle 4 im Vergleich zu Tabelle 2
ist ersichtlich, das die vorkommenden Fehlergrößen nur
1/3 des Quadratseiten-Fehlers ausmachen. Damit gelten
alle Genauigkeitsbetrachtungen, die für die Quadratseite
gemacht worden sind, auch in diesem Fall. Rechnet man die, in Tabelle 4, angegebenen Differenzen prozentual auf die wahren Schnittlängen des Quadratur-Dreicks um, so erhält man |
| einen Fehler von ± 0,02 %, für alle auftretenden Fälle. |
| 2.3.3 | Bilanz für die Konstruktion 1 |
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| Somit bietet die Quadratur-Konstruktion 1,
ausgehend von der 14:11 Proportion als
Näherungslösung, eine Technik, die eine praktische
Handhabung der Kreisquadratur gestattet. In der praktizierten Geometrie, genau genommen in den kleineren Bereichen von Blattgrößen etwa. Sowie die Anwendung in der Architektur oder der Landschaftsgestaltung, als strukturierendes Element. Und das mit hinreichender Genauigkeit, wie zu sehen war. |
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280
Seiten 227 Bilder, davon 55 in Farbe Herstellung und Verlag: Books on Demand GmbH, Norderstedt ISBN 9783757881207 Ladenpreis: 22 Euro |
