DIE GESTALT DER ERDE

8 - Mittelpunktsform der Ellipse

8.0 Die reduzierte Breite  
8.1 Der Mittelpunktabstand  
8.2 Die geozentrische Breite  
8.3 Die Mittelpunktsform  
8.4 Die Funktionsgleichung der Ellipse  
     
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8.0

Die reduzierte Breite

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Die einfachste Art und Weise eine Ellipse in einem kartesischen Koordinatensystem darzustellen, geschieht in der sogenannten Mittelpunktsform.
Ausgangspunkt der Betrachtung sind die beiden Kreise, die durch die große und die kleine Halbachse gebildet werden und zwischen denen die Ellipse liegt.
 
 Ellipse und Winkel
 
Abbildung 8.1 - Ellipse und Winkel

 

Der Punkt P verfügt über die Koordinaten: P = (xa ; yb)   mit  Strecke MP
 
Mit Hilfe der Abbildung 8.1 lassen sich jetzt folgende Streckenverhältnisse für den Mittelpunktswinkel b angeben. Der Winkel b wird auch reduzierte Breite genannt.
 
tan b = ya/xa =  yb/xb    
     
cos b = xa/a  =  xb/b ===> xa = a cos b
sin b = ya/a =  yb/b ===> yb= b sin b

 

 

8.1

Der Mittelpunktabstand

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Für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P läßt sich folgende Beziehung ableiten:
 
= xa² + yb² = a²Ěcos²b + b²Ěsin²b
    = a² - a²Ěsin²b + b²Ěsin²b
    = a²Ě[1 - (a²-b²)/a²Ěsin²b]
   
und mit e² =(a²-b²)/a² ergibt sich: R² = a²Ě(1-e²Ěsin²b)
 
Insgesamt gilt für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P:
 
Mittelpunktsabstand

 

 

8.2

Die geozentrische Breite

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In der Abbildung 8.1 lässt sich vom Mittelpunktswinkel β noch ein weiterer Mittelpunktswinkel unterscheiden, namlich der Winkel ψ.
Der Winkel ψ wird auch geozentrische Breite genannt.
Dies ist der Winkel, den R mit der x-Achse bildet, also ∠AMP ψ
 
Für den Winkel ψ gelten die folgenden Beziehungen:
 
tan y = yb/xa = (bĚsin b)/(aĚcos b) = b/aĚtan b
 
mit fo= b/a ergibt sich:
 
Winkel

 

8.3

Die Mittelpunktsform

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Aus der Trigonometrie stammt die Gleichung: cos²b + sin²b = 1
   
Aus der Ableitung für die reduzierte Breite: xa = aĚcos b
yb = bĚsin
b
 
Einsetzen der Breiten-Beziehungen in die trigonometrische Gleichung:
 
Mittelpunktsform der Ellipse
 
 
In einem kartesischen Koordinatensystem lassen sich für einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse diese Koordinaten bilden, also: xa = x und yb = y.
Damit ergibt sich:
Mittelpunktsform der Ellipse
 
Diese Darstellung wird als Mittelpunktsform der Ellipse bezeichnet.

 

 

8.4

Die Funktionsgleichung der Ellipse

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Umstellen der Mittelpunktsform zur Variablen y liefert die Funktionsgleichung der Ellipse
 
Umstellen der Mittelpunktsform
 
Da in einem kartesischen Koordinatensysten nur reelle Komponenten vorhanden sind, muß noch die Wurzel berücksichtigt werden, um die vollständige Funktionsgleichung der Ellipsse zu erhalten:
 
vollständige Funktionsgleichung der Ellipse mit 0 ≤ a x und b ≤ a
 
Für a = b folgt:

Die Ellipsengleichung geht für a = b in die Kreisgleichung über.
 
Kreisgleichung

 

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Der Autor - Klaus Piontzik