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| 8.0 | Die reduzierte Breite | |
| 8.1 | Der Mittelpunktabstand | |
| 8.2 | Die geozentrische Breite | |
| 8.3 | Die Mittelpunktsform | |
| 8.4 | Die Funktionsgleichung der Ellipse | |
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| 8.0 | Die reduzierte Breite |
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| Die
einfachste Art und Weise eine Ellipse in einem
kartesischen Koordinatensystem darzustellen, geschieht in
der sogenannten Mittelpunktsform. Ausgangspunkt der Betrachtung sind die beiden Kreise, die durch die große und die kleine Halbachse gebildet werden und zwischen denen die Ellipse liegt. |
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| Abbildung 8.1 - Ellipse und Winkel |
| Der Punkt P verfügt über die Koordinaten: | P = (xa ; yb) mit |  |
| Mit Hilfe der Abbildung 8.1 lassen sich jetzt folgende Streckenverhältnisse für den Mittelpunktswinkel b angeben. Der Winkel b wird auch reduzierte Breite genannt. |
| tan b = ya/xa = yb/xb | ||
| cos b = xa/a = xb/b | ===> | xa = a cos b |
| sin b = ya/a = yb/b | ===> | yb= b sin b |
| 8.1 | Der Mittelpunktabstand |
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| Für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P läßt sich folgende Beziehung ableiten: |
| R² | = xa² + yb² | = a²·cos²b + b²·sin²b |
| = a² - a²·sin²b + b²·sin²b | ||
| = a²·[1 - (a²-b²)/a²·sin²b] |
| und mit e² =(a²-b²)/a² ergibt sich: | R² = a²·(1-e²·sin²b) |
| Insgesamt gilt für den Mittelpunktsabstand R des Punktes P: |
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| 8.2 | Die geozentrische Breite |
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| In der Abbildung 8.1 lässt sich vom
Mittelpunktswinkel β
noch ein weiterer Mittelpunktswinkel unterscheiden,
namlich der Winkel ψ. Der Winkel ψ wird auch geozentrische Breite genannt. Dies ist der Winkel, den R mit der x-Achse bildet, also ∠AMP = ψ |
| Für den Winkel ψ gelten die folgenden Beziehungen: |
| tan y = yb/xa = (b·sin b)/(a·cos b) = b/a·tan b |
| mit fo= b/a ergibt sich: |
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| 8.3 | Die Mittelpunktsform |
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| Aus der Trigonometrie stammt die Gleichung: | cos²b + sin²b = 1 |
| Aus der Ableitung für die reduzierte Breite: | xa
= a·cos b yb = b·sin b |
| Einsetzen der Breiten-Beziehungen in die trigonometrische Gleichung: |
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| In einem kartesischen Koordinatensystem lassen sich für einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse diese Koordinaten bilden, also: xa = x und yb = y. |
| Damit ergibt sich: |
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| Diese Darstellung wird als Mittelpunktsform der Ellipse bezeichnet. |
| 8.4 | Die Funktionsgleichung der Ellipse |
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| Umstellen der Mittelpunktsform zur Variablen y liefert die Funktionsgleichung der Ellipse |
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| Da in einem kartesischen Koordinatensysten nur reelle Komponenten vorhanden sind, muß noch die Wurzel berücksichtigt werden, um die vollständige Funktionsgleichung der Ellipsse zu erhalten: |
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mit 0 ≤ a ≤ x und b ≤ a |
| Für a = b
folgt: Die Ellipsengleichung geht für a = b in die Kreisgleichung über. |
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