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| 7.0 | Die Umfangsgleichung |
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| Bei der
Berechnung des Umfanges einer Ellipse tritt ein
sogenanntes elliptisches
Integral auf, für
das es keine geschlossene mathematische Lösung gibt. Ein
Ausweg erhält man durch Reihenentwicklung des Integrals.
Der Faktor g (gamma) zur Umfangsberechnung stammt
daher. Mit diesem Umfangsfaktor läßt sich der
Ellipsenumfang UE darstellen wie eine
Kreisberechnung, wenn a
dabei die große Halbachse der Ellipse ist. Die Erde als Rotatiosellipsoid betreffend, gilt diese Gleichung für alle Meridianumfänge: |
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| 7.1 | Der Umfangsfaktor |
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| Die genaue Gleichung für den Umfangsfaktor g als Reihe sieht dann folgendermaßen aus: |
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| 7.2 | Die klassische Näherung für den Umfangsfaktor |
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| Um nicht immer mit der ganzen Reihe zu operieren, gibt es Näherungen für den Umfangsfaktor. In der Regel wird dafür diese Näherung angegeben: |
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| Durch Umstellung der Formel nach gf und unter Berücksichtigung der Parameter der Ellipse ergibt sich dann für den Umfangsfaktor: |
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| 7.3 | Ableitung einer eigenen Näherung für den Umfangsfaktor |
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| Durch das Studium der Ellipsengeometrie initiiert, entdeckte ich selber eine Näherungslösung. Beim Experimentieren mit dem Umfangsfaktor stieß ich auf folgenden Zusammenhang zwischen Umfangsfaktor und dem Numerus der Abplattung: |
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| Umstellen der Gleichung nach gn ergibt: |
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| Der gesamte Ellipsenumfang als Näherung lautet dann: |
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| 7.4 | Die Genauigkeit der beiden Näherungen |
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| Bei Näherungslösungen
ist immer die Frage nach der Genauigkeit angebracht. Da
der Umfangsfaktor durch die oben angegebene Reihe exakt
ermittelt werden kann, braucht man die Näherungen nur
noch mit diesem zu vergleichen. Nimmt man den Numerus der Abplattung (der hier gebräuchlichen geodätischen Systeme) als Variable und trägt die Werte für die Umfangsfaktoren in eine Tabelle ein, so ergibt sich folgendes Bild: |
n |
g |
g n |
g f |
| 297 | 0,99831720772870 | 0,99831720686 | 0,998317208056 |
| 298 | 0,99832285230823 | 0,99832285144 | 0,998322852631 |
| 298,24 | 0,99832420137721 | 0,99832420051 | 0,998324201699 |
| 298,247 | 0,99832424069248 | 0,99832423983 | 0,998324241014 |
| 298,25 | 0,99832425754132 | 0,99832425668 | 0,998324257863 |
| 298,255 | 0,99832428562197 | 0,99832428476 | 0,998324285944 |
| 298,3 | 0,99832453830541 | 0,99832453744 | 0,998324538627 |
| 299 | 0,99832845914720 | 0,99832845829 | 0,998328459466 |
| 299,15 | 0,99832929694130 | 0,99832929608 | 0,998329297259 |
| Wie zu sehen ist, liefert die klassische Näherung für den Umfangsfaktor eine Dezimalstelle mehr, als die von mir gefundene Lösung. Eine etwas bessere Vergleichmöglichkeit ergibt sich, wenn die Erdumfänge für die einzelnen geodätischen Systeme betrachtet werden. D.h. es wird jeweils die Differenz zwischen Umfang und Näherung gebildet. |
| Bezeichnung | Umfang
- Differenz (m) |
Umfang - Differenz (m) klassische Näherung |
Bessel |
0,046858124 |
-0,000014745 |
Hayford / IRE |
0,047890112 |
-0,000015162 |
Krassowski |
0,047265761 |
-0,000014901 |
WGS |
0,047293521 |
-0,000014924 |
IUGG |
0,047290251 |
-0,000014909 |
Fischer |
0,047267176 |
-0,000014909 |
SAO / GRIM2 |
0,047287010 |
-0,000014924 |
Enz.Brit. |
0,047419511 |
-0,000014968 |
| Hier ist
zu erkennen, das die klassische Näherung etwa 2/1000 mm
grösser als der Umfang ist. Die von mir gefundene Lösung
ist etwa 5 cm kleiner als der Umfang. Was aber für die
meisten Fälle hinreichend sein sollte. Zu bemerken wäre noch, das die Piontzik´sche Näherungslösung um so ungenauer wird, je weiter die Ellipse sich von der Kreisgestalt entfernt. Heißt also, die Näherung ist für geodätische Ellipsen noch am besten geeignet. |
| 7.5 | Die Piontzik´sche Näherung für den Ellipsenumfang |
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| Wie schon im Abschnitt Parameter der Ellipse erläutert, existieren mehrere gleichwertige Parameter um eine Ellipse zu beschreiben. Einsetzen der verschiedenen Definitionen in die Näherungslösung führt dann auch zu mehreren Varianten der Umfangsnäherung. Die Versionen, die den Formfaktor bzw. den Numerus der Abplattung enthalten, lassen sich in der Praxis noch am günstigsten handhaben. Dem weiter interessierten Leser sei empfohlen, sich die verschiedenen Versionen zur Übung einmal selbst abzuleiten. An dieser Stelle werden daher lediglich zwei Varianten der Piontzik´schen Näherungslösung für den Ellipsenumfang angegeben: |
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| ERGÄNZENDE LINKS ZUM THEMA |
| Ellipse |
