Im Übrigen auch die Version von p, die auf der Titelseite dieser Website angegeben ist.

Durch die Ausarbeitung der Analysis, von dem englischen Physiker, Mathematiker und Astronom Isaac Newton (1642 - 1727) und dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), konnten bessere Näherungswerte von p gefunden werden.
Newton verfügte 1665 über 16 Sellen von p. Dies geschah durch Reihenentwicklungen, die dann allerdings noch in mühsamer Handarbeit umgestetzt werden mussten. Leonhard Euler schaffte mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von p. Johann Dase (1824-1861) verwendete 2 Monate seines Lebens darauf, 200 Stellen der Zahl p zu berechnen.

Der griechische Buchstabe p wurde als Abkürzung für "Peripherie" von englischen Mathematikern benutzt, genannt werden hier Oughtred (1667) und Issac Barrow (1630-1677). Weiterhin William Jones (1675-1749) mit seinem Werk „Synopsis palmariorum matheseos“. Doch ihre Beispiele blieben ohne Nachahmung.

Aufgegriffen wurde der Buchstabe später von Leonhard Euler in seiner Abhandlung „Variae observationes circa series infinitas“. Euler verwendet zunächst p bis 1735, ab 1738 dann p .

Danach etablierte sich der griechische Buchstabe auch bei anderen Mathematikern als Symbol für die Kreiskonstante und setzte sich so dann überall durch.

Euler fand u.a. die Beziehung e^ip + 1 = 0 , die eine Voraussetzung für Lindemanns Beweis der Transzendenz von p ist.

Irrationalität einer Zahl besagt, das sie nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen darstellbar ist. Lambert nähert sich der Kreiszahl durch eine Folge von Brüchen.

Zuerst zeigte er, daß tan x nicht rational sein kann, wenn ist.
Daraus folgerte er, daß x nicht rational sein kann, wenn tan x rational ist
wie dies z.B. in dem Ausdruck tan p/4 = 1 der Fall ist.
Daraus schloß Lambert, das p/4 und damit auch p nicht rational sein können.

Mit Hilfe von Kettenbrüchen konnte er auch die besten Näherungen in Form von Brüchen berechnen. Dazu zählt beispielsweise:

Transzendenz einer Zahl bedeutet: Nicht Lösung einer Gleichung mit GANZZAHLIGEN oder RATIONALEN Koeffizienten zu sein. Den Beweis veröffentlichte er in dem Artikel "Über die Zahl p" in den "Mathematischen Annalen" in München.

Zuerst bewies Lindemann, daß die Lösung von e^ip + 1 = 0 nicht algebraisch sein kann. Er wußte aber, daß p dieser Gleichung genügte (das hatte schon Newton bewiesen), woraus er noch weiter folgerte, daß p keine algebraische Zahl sein kann.

Die Konsequenz ist, das eine Konstruktion der Zahl p durch Lineal und Zirkel, also die geometrische Quadratur des Kreises nicht exakt möglich ist.

Zu erwähnen wäre da noch das, seit den Griechen, quasi ganze Generationen von Mathematikern vorher versucht hatten, eine Lösung der Quadratur mit Zirkel und Lineal zu erreichen. Lindemanns Beweis zeigt demzufolge auch die Aussichtslosigkeit eines solchen Unterfangens.

Was andererseits bedeutet, das vorhandene geometrische Konstruktionen, die Quadratur des Kreises betreffend, als Näherungslösungen zu betrachten sind. Und bei Näherungen, das heißt bei ihrer Anwendung und Benutzung, spielt eher die Frage der Genauigkeit eine grosse Rolle.

Tsu Chu'ung-Chi
Die Darstellung von p durch 355/113 - die ersten 6 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Adriaen Metius
Die Darstellung von p durch 333/106 - die ersten 4 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Claudius Ptolemäus
Die Darstellung von p durch 377/120 - die ersten 3 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Archimedes
Die Darstellung von p durch 22/7 - die ersten 2 Stellen hinter dem Komma sind exakt