Zur Geschichte der Zahl Pi (π)

1.0.0   Einleitung - π als Näherungswert  
1.1.0   Ägypten 1850/1650 v.Chr.
1.2.0   Babylonien 1900 - 1600 v.Chr.
1.3.0   Die Griechen 400 - 300 v.Chr.
1.3.1   Archimedes 287 - 212 v.Chr.
1.3.2   Apollonius von Perge 262 - 190 v.Chr.
1.3.3   Heron von Alexandria 10-75 n.Chr.
1.3.4   Claudius Ptolemäus 85-165 n.Chr.
1.4.0   China 250/430-501 n.Chr.
1.5.0   Indien 500 v.Chr./500 n.Chr
1.6.0   Verfeinerte Näherungen 1540-1600
1.6.1   Adriaen Metius, Valentius Otho 1573
1.6.2   Ludolph von Ceulen 1540-1610
1.6.3   Jacob Marcelis 1700
1.7.0   Reihenentwicklungen 1640 - 1780
1.7.1   π als Symbol  
1.8.0   Lambert und die Irrtionalität von π 1761
1.8.1   Lindemann und π als transzendente Zahl 1882
1.9.0   Näherungswerte für π in Bruchdarstellung  
1.9.1   Die geometrisch günstigste Näherung  
       

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1.0.0 Einleitung - π als Näherungswert  zum Anfang der Seite
 
Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser, das wir heute mit der Zahl π ausdrücken, war der 17. Buchstabe des ursprünglichen und ist der 16. Buchstabe des klassischen griechischen Alphabetes.

Der griechische Buchstaben ’π’ (p) zur Bezeichnung der Verhältniszahl des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser soll sich ableiten aus dem griechischen Wort perijeria (periphereia) = Kreis(umfang), Umkreis, Umfangslinie oder auch von perimetros, in deutsch Umfang.

Über die Eigenschaften und über die Entwicklung der Zahl π ist, im Laufe der Zeit, schon viel geschrieben, gerechnet und gerätselt worden. Hier geht es allerdings nicht um irgendwelche Mysteria dieser Zahl, sondern darum geeignete Näherungswerte zu finden, die in der geometrischen Praxis, mit genügender Genauigkeit, umsetzbar sind.

Daher erfolgt, in diesem Kapitel, lediglich eine kleine Übersicht zur geschichtlichen Entwicklung bzw. Entdeckung und Eingrenzung der Zahl π. Unter besonderer Berücksichtigung von Bruchdarstellungen für π, im Hinblick auf spätere geometrische Verwendbarkeit.
Im Laufe der geschichtlichen Betrachtung ergeben sich daraus dann auch die meisten Näherungswerte in Bruchform, also in einer gebrochen rationalen Darstellungsweise.

 

 

1.1.0 Ägyten  zum Anfang der Seite
 
Der wohl älteste offiziell überlieferte Wert für π stammt von den Ägyptern. Etwa um 1850 v.Chr. enstand das Moskauer Papyrus. Man fand die Näherung:
 
9/16=3,16

 

Das Papyrus Rhind , das auf etwa 1650 v.Chr. datiert wird, enthält mathematische Aufgaben in Textform, die vom Schreiber Ahmes stammen. Es gibt diesen Wert an:
 
(16/9)^2=256/81=3,16049
 
Dieses Dokument befindet sich heute im Britischen Museum in London.

 

Es könnte aber auch schon vor der Abfassung des Papyrus Rhind bessere Näherungswerte gegeben haben: POSAMENTIER (The Mathematics Teacher v. 77(1); S.52,47) führt das Buch "La Science Mystérieuse des Pharaons" von Abbé Moreux (Paris 1923) an, wo auf den Seiten 28-29 eine vermutete Näherung von 3,14159294 angegeben wird. (zitiert nach Mäder 1989, S.55)

 

 

1.2.0 Babylonien  zum Anfang der Seite
 
Etwa zur selben Zeit wie in Ägypten (1900-1600 v.Chr.) gab es auch schon in Babylonien erste Näherungen für π. Der Wert 3 wurde als solche Näherung benutzt. Keilschrifttexte, die 1936 in Susa entdeckt wurden, geben für π diesen Wert an:
 
formula

 

 

1.3.0 Die Griechen und die Quadratur des Kreises  zum Anfang der Seite
 
Die Quadratur des Kreises war eines der Lieblingsthemen der alten Griechen. Die Aufgabe war, zu einem gegebenen Kreis, nur mit Hilfe von Lineal und Zirkel, ein umfang bzw. flächengleiches Quadrat zu konstruieren. Dieses sollte in einer begrenzten Anzahl von Schritten bewältigt werden. Aus noch zu ersehenden Gründen ist dies geometrisch exakt aber unmöglich.

Antiphon (430 v.Chr.) war der Meinung, daß die Quadratur des Kreises und damit die exakte Bestimmung von π möglich sein müsse, weil sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln läßt.
Seine Idee ging davon aus, dem Kreis Vielecke mit immer größerer Seitenzahl einzuschreiben, so das diese schließlich nicht mehr vom Kreis zu unterscheiden sind und damit der Kreis völlig "erschöpft" ist. Auf Grund dieser Vorgehensweise nennt man diese Technik Exhaustions-Methode. Der lateinische Ausdruck heißt "exhaurire", was herausnehmen, erschöpfen, vollenden bedeutet.
Damit legte Antiphon den Grundstein für die erfolgreiche Arbeit vieler Mathematiker in späterer Zeit nicht zuletzt des Archimedes, der eben diese Methode anwandte.

Euklid von Alexandria (325-265 v. Chr.) gelang der Beweis, daß 3 < π < 4 gilt. Doch erst Archimedes konnte rund 100 Jahre später diese Ungleichung verfeinern.

 

 

1.3.1 Archimedes  zum Anfang der Seite
 
Auf Archimedes von Syrakus (287 - 212 v.Chr.) geht folgende Ungleichung zurück, die er durch die Konstruktion eines 96-Ecks gewann:
 
3 10/71<pi<3 1/7 bzw. 223/71<pi<22/7

 

 

1.3.2 Apollonius von Perge  zum Anfang der Seite
 
Auf Apollonius von Perge (262 - 190 v.Chr.), einem jüngeren Kollegen von Archimedes, geht folgender Wert zurück:
 
211875/67441

 

 

1.3.3 Heron von Alexandria  zum Anfang der Seite
 
Nach Angaben des Mathematikers Heron von Alexandria (10-75 n. Chr.) soll Archimedes sogar eine noch bessere Abschätzung für π gefunden haben. Es ist aber nicht vollständig geklärt, ob dieser Ausdruck wirklich von ihm stammt. Seine Angabe lautet:
 
195882/62351<pi<211882/67441

 

 

1.3.4 Claudius Ptolemäus  zum Anfang der Seite
 
Der griechische Astronom Claudius Ptolemäus (85-165 n.Chr. in Ägypten) nützte die Vorarbeit des Archimedes und setzte dessen Methode bis zum 720-Eck fort. Damit erreichte er für π die Näherung :
 
377/120

 

 

1.4.0 China  zum Anfang der Seite
 
Von Wang Fan um 250 n.Chr. stammt die Näherung:
 

 

Der Astronom Tsu Chu'ung-Chi (430-501 n.Chr.) und sein Sohn Tsu Keng-Chi fanden diese Näherung:
 
355/113
 
Tsu Ch’ung Chi (Zu Chong Zhi)  wurde als Mathematiker und Astronom bekannt und war etwa 800 Jahre lang der Weltrekordhalter in der Präzision der Darstellung von π.

Die Wissenschaftshistoriker wissen nicht sehr viel über ihn. Insbesondere ist rätselhaft, wie Tsu seine erstaunliche Approximation der Kreiszahl π berechnet hat.

Über den Ursprung dieses einfachen Bruches gibt es nur Vermutungen, die besagen, daß Tsu einfach die bekannten Brüche von Ptolemäus und Archimedes verwendet hat. Indem er die Differenz der Zähler und Nenner bildete:

 

 

 

1.5.0 Indien  zum Anfang der Seite
 
Um 500 v.Chr. waren für π Näherungen in Gebrauch, wie zum Beispiel:
 

 

Noch öfter findet man einen Wert, der auch als Hinduwert bezeichnet wird:
 

 

Der indische Mathematiker Brahmagupta (geboren 598 n.Chr.) fand 640 n.Chr. ebenfalls diesen Wert, indem er die Summe der Seitenlängen von 12-, 24-, 48- und 96-seitigen Polygonen berechnete.

Um 499-510 n.Chr. gab Aryabhatiya (476-550) für π eine Näherung an, die auch im Paulisha Siddhanta erwähnt wird:

 

 

 

1.6.0 Verfeinerte Näherungen  zum Anfang der Seite
 
Im Mittelalter wurden, in Europa, die Verfahren zur Berechnung von π erheblich verfeinert. Tycho de Brahe (1546-1601), ein dänischer Astronom, nahm für π den Wert:
 

 

Der französische Mathematiker und Rechtsgelehrte Francois Viete (1540-1603) drang 1579, in Fortsetzung der archimedischen Methode, bis zum 393216-Eck vor. Er erhielt eine Ungleichung, die den Wert für π bis auf 9 Dezimalstellen angab.
Viete, (lateinisch Vieta) der "Vater" der modernen Algebra, stellte erstmals eine geschlossene Formel für π vor, die sich aus einem unendlichen Produkt ableiten läßt.
 
 
Dieses Produkt fand Leonard Euler dann etwa 150 Jahre später. Die Konvergenz dieses Ausdrucks konnte aber erst F. Rudio im Jahre 1891 beweisen.

 

 

1.6.1 Adrian Metius, Valentius Otho  zum Anfang der Seite
 
Mehr als 1000 Jahre nach Tsu Ch'ung-Chi entdeckte Adriaen Metius dieselbe Näherung 355/113, als er das arithmetische Mittel von Zähler und Nenner der beiden Näherungen 377/120 und 333/106, die auf Berechnungen seines Vaters beruhten, bildete.
Beachtenswert ist hier, das durch den relativ einfachen Bruch 333/106 insgesamt 4 Dezimalstellen von π anfallen:
 
 
Zu erwähnen wäre noch Valentinus Otho, durch den im Jahre 1573 die Näherung 355/113 bekannt wurde.

 

 

1.6.2 Ludolph von Ceulen  zum Anfang der Seite
 
Um einen Eindruck von der Faszination dieser Zahl in vergangenen Jahren zu vermitteln, dient der niederländische Mathematiker Ludolf von Ceulen (1539-1610). Er errechnete π auf 35 Stellen genau. Hier sein Wert, der auch heute noch gültig ist:
 
π = 3,14159265358979323846264338327950288...
 
Ludolph van Ceulen widmete einen grossen Teil seiner Arbeit und seines Lebens der Berechnung der Zahl π. 1596 errechnete er 20 richtige Stellen und kurz vor seinem Tod weitere 15. Dabei diente ihm die Archimedische Methode als Grundlage. Er benutzte ein- und umschriebene Polygone mit 262 Seiten. Die letzten drei der von ihm berechneten Ziffern wurden in seinen Grabstein eingemeisselt.
Daher wird π auch manchmal als Ludolphsche Zahl bezeichnet.

 

 

1.6.3 Jacob Marcelis  zum Anfang der Seite
 
Um 1700 herum war Jacob Marcelis der Meinung, daß es ihm gelungen sei, den Kreis zu quadrieren, und damit den exakten Wert für π zu bestimmen. Diesen gab er wie folgt an:
 

 

 

1.7.0 Reihenentwicklungen für Pi  zum Anfang der Seite
 
Von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), einem deutschen Philosoph und Universalgelehrten, stammt die nachfolgende Reihe für π, die er bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens unendlicher Reihen 1673 fand.
 
pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...
 
Die einfache, aber nur sehr langsam konvergierende Formel läßt sich mit Hilfe der Potenzreihe des Arcustangens ableiten. Leibniz fand unabhängig von Newton die Differential- und Integralrechnung

Durch die Ausarbeitung der Analysis, von dem englischen Physiker, Mathematiker und Astronom Isaac Newton (1642 - 1727) und dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), konnten bessere Näherungswerte von π gefunden werden.
Newton verfügte 1665 über 16 Sellen von π. Dies geschah durch Reihenentwicklungen, die dann allerdings noch in mühsamer Handarbeit umgestetzt werden mussten. Leonhard Euler schaffte mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von π. Johann Dase (1824-1861) verwendete 2 Monate seines Lebens darauf, 200 Stellen der Zahl π zu berechnen.

 

 

1.7.1 π als Symbol  zum Anfang der Seite
 
Der griechische Buchstaben ’π’ (p) zur Bezeichnung der Verhältniszahl des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser soll sich ableiten aus dem griechischen Wort perijeria (periphereia) = Kreis(umfang), Umkreis, Umfangslinie oder auch von perimetros, dt. Umfang.

Der griechische Buchstabe π wurde als Abkürzung für "Peripherie" von englischen Mathematikern benutzt, genannt werden hier Oughtred (1667) und Issac Barrow (1630-1677). Weiterhin William Jones (1675-1749) mit seinem Werk „Synopsis palmariorum matheseos“. Doch ihre Beispiele blieben ohne Nachahmung.

Aufgegriffen wurde der Buchstabe später von Leonhard Euler in seiner Abhandlung „Variae observationes circa series infinitas“. Euler verwendet zunächst p bis 1735, ab 1738 dann π.

Danach etablierte sich der griechische Buchstabe auch bei anderen Mathematikern als Symbol für die Kreiskonstante und setzte sich so dann überall durch.

Euler fand u.a. die Beziehung e + 1 = 0 , die eine Voraussetzung für Lindemanns Beweis der Transzendenz von π ist.

 

 

1.8.0 Lambert und die Irrationalität von π  zum Anfang der Seite
 
Johann Heinrich Lambert (1728-1777), deutscher Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph, gelang es im Jahre 1761, die Irrationalität von π zu beweisen.

Irrationalität einer Zahl besagt, das sie nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen darstellbar ist. Lambert nähert sich der Kreiszahl durch eine Folge von Brüchen.

Zuerst zeigte er, daß tan x nicht rational sein kann, wenn ist.
Daraus folgerte er, daß x nicht rational sein kann, wenn tan x rational ist
wie dies z.B. in dem Ausdruck tan π/4 = 1 der Fall ist.
Daraus schloß Lambert, das π/4 und damit auch π nicht rational sein können.

Mit Hilfe von Kettenbrüchen konnte er auch die besten Näherungen in Form von Brüchen berechnen. Dazu zählt beispielsweise:

 
 103993/33102

 

 

1.8.1 Lindemann und π als transzendente Zahl  zum Anfang der Seite
 
Der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852-1939) bewies dann im Jahre 1882, das π eine transzendente Zahl ist, d.h. unter anderem: π ist unendlich und unperiodisch.
Unendlichkeit und Unperiodizität langen allein allerdings nicht aus, um Transzendenz einer Zahl zu gewährleisten.

Transzendenz einer Zahl bedeutet: Lösung einer Gleichung mit GANZZAHLIGEN oder RATIONALEN Koeffizienten und dabei keine algebraische Zahl zu sein. Den Beweis veröffentlichte er in dem Artikel "Über die Zahl p" in den "Mathematischen Annalen" in München.

Zuerst bewies Lindemann, daß die Lösung von e + 1 = 0 nicht algebraisch sein kann. Er wußte aber, daß π dieser Gleichung genügte (das hatte schon Newton bewiesen), woraus er noch weiter folgerte, daß π keine algebraische Zahl sein kann.

Die Konsequenz ist, das eine Konstruktion der Zahl π durch Lineal und Zirkel, also die geometrische Quadratur des Kreises nicht exakt möglich ist. Unter der Quadratur des Kreises versteht man entweder die Umformung des Kreisumfangs in ein umfanggleiches Quadrat oder die Umwandlung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat.

Zu erwähnen wäre da noch das, seit den Griechen, quasi ganze Generationen von Mathematikern vorher versucht hatten, eine Lösung der Quadratur mit Zirkel und Lineal zu erreichen. Lindemanns Beweis zeigt demzufolge auch die Aussichtslosigkeit eines solchen Unterfangens.

Was andererseits bedeutet, das vorhandene geometrische Konstruktionen, die Quadratur des Kreises betreffend, als Näherungslösungen zu betrachten sind. Und bei Näherungen, das heißt bei ihrer Anwendung und Benutzung, spielt eher die Frage der Genauigkeit eine grosse Rolle.

 

 

1.9.0 Näherungswerte für π  zum Anfang der Seite
 
Wie in der obigen historischen Betrachtung behandelt worden ist, läßt sich π durch Bruchdarstellungen annähern. Hier einige Beispiele, wie sie im Laufe der Zeit auch immer wieder von verschiedenen Autoren benutzt worden sind. Die erste abweichende Dezimalstelle ist dabei rot markiert und die Ziffernfolge wird hier abgebrochen.

 

Näherung für π   Dezimale Darstellung
     
  3,16
     
22/7   3,142
     
  3,12
     
  3,0
     
  3,15
     
223/71   3,140
     
256/81   3,16
     
333/106   3,141 50
     
355/113   3,141 592 9
     
377/120   3,141 6
     
3927/1250   3,141 6
     
20612/6561   3,141 594
     
54648/17395   3,141 592 4
     
  3,141 592 5
     
  3,141 592 64
     
  3,141 592 653 0
     
195882/62351   3,141 6
     
  3,141 6
     
211882/67441   3,141 7
     
  3,141 592 654

Tabelle - Näherungen für π in Bruchdarstellung

 

 

1.9.1 Die geometrisch günstigste Näherung  zum Anfang der Seite
 
Praktisch geometrisch gesehen, also aus Gründen der Konstruierbarkeit, sind quasi nur die Bruchdarstellungen deren Nenner kleiner als 1000 sind, verwendbar. Und hier fallen lediglich 4 Werte auf:
 
 
Tsu Chu'ung-Chi
Die Darstellung von π durch 355/113 - die ersten 6 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Adriaen Metius
Die Darstellung von π durch 333/106 - die ersten 4 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Claudius Ptolemäus
Die Darstellung von π durch 377/120 - die ersten 3 Stellen hinter dem Komma sind exakt

Archimedes
Die Darstellung von π durch 22/7 - die ersten 2 Stellen hinter dem Komma sind exakt

 
 
Die angegebenen Näherungen lassen sich geometrisch nutzen bzw. umsetzen, so das eine Quadratur des Kreises, als annähernde Konstruktion, lediglich mit Zirkel und Lineal ausgeführt, also durchaus möglich ist.

 

Die am häufigsten verwendete Näherung für π ist der von Archimedes verwendete Wert 22/7

 

Dadurch reduziert sich das Thema Quadratur des Kreises auf zwei Zahlen: die 7 und die 11. Es ergeben sich hier zwei Möglichkeiten: das 14:11 und das 11:7 Verhältnis. Aus jeder Proportion resultiert eine spezifische Quadraturkonstruktion.

 

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