DIE GESTALT DER ERDE

12 - Mittelwerte der Ellipse

12.0 Mittelwerte  
12.1 Mittelwerte der Ellipsenachsen  
12.2 Mittelwerte der Ellipse  
12.3 Numerische Auswertung  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
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12.0

Mittelwerte

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Es existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das geometrische Mittel, das arithmetrische Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische Mittel.

Für zwei Grössen a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse einer Ellipse), aus denen der Mittelwert gebildet werden soll, gelten dann folgende Beziehungen:

 
Das arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel
 
Das geometrische Mittel Das geometrische Mittel
 
Das harmonische Mittel Das harmonische Mittel
 
Das quadratische Mittel Das quadratische Mittel
 
 
Für die Mittelwerte gilt allgemein folgender Zusammenhang:
 
 Ungleichung Mittelwerte

 

 

12.1

Mittelwerte der Ellipsenachsen

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Das geometrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse Das geometrische Mittel für die Radien
   
Das arithmetrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse Das arithmetrische Mittel für die Radien
   
Das harmonische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse Das harmonische Mittel für die Radien
   
Das quadratische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse Das quadratische Mittel für die Radien

 

 

12.2

Die Mittelwerte der Ellipse

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Wie im letzten Kapitel (siehe 11) gezeigt, kann man für alle Mittelwerte auch Punkte bzw. Gleichungen ableiten, in denen die geozentrische Breite nur noch vom Formfaktor bzw. dem Numerus der Abplattung abhängig ist.
 
Für alle bisher betrachteten Fälle gilt: ψ = Mittelwert/2
 
 
arithmetisch geometrisch harmonisch
     
x arithmetisch x geometrisch x harmonisch
     
tangens psi arithmetisch tangens psi geometrisch tangens psi harmonisch
     
psi arithmetisch psi geometrisch psi harmonisch
 
 
Alle Mittelwerte liegen aber auch innerhalb eines gewissen Intervalles. Die Grenzen des Intervalles werden durch die zugrunde liegenden Grössen a und b gebildet.

Für die untere Grenze gilt: x=y = b/2
Für die obere Grenze gilt: x=y = a/2

 
   
untere Grenze obere Grenze
   
untere Grenze x obere Grenze x
   
untere Grenze tan psi obere Grenze tan psi
   
untere Grenze psi obere Grenze psi
   
 
Zeichnet man die Mittelwerte (Tabelle der Werte weiter unten) und die beiden Grenzen in die Ellipsen bzw. Schmiegekreis-Konstruktion ein, so ergibt sich Abbildung 12.1.
Die Mittelwerte liegen dabei derart eng zusammen, das eigentlich nur das harmonische Mittel (rot) zu erkennen ist.
 
 
Mittelwerte
 
Abbildung 12.1 - Ellipse und Mittelwerte

 

 

12.3

Numerische Auswertung

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Lässt man (wie beim harmonischen Mittel) n, also den Numerus der Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln. Der Bereich ist wieder so gewählt, das alle geodätischen Systeme darin enthalten sind.
 
 
Zusammenfassung der Mittelwerte bzgl. der geozentrischen Breite ψ
 
   

untere Grenze

harmonisches Mittel

geometrisches Mittel

arithmetisches Mittel

obere Grenze

 

n

b/2

h/2

g/2

m/2

a/2

  296 29° 54 58" 29° 58 19,22" 29° 58 19,39" 29° 58 19,56" 30° 1 41,75"
  296,25 29° 54 58,26" 29° 58 19,31" 29° 58 19,48" 29° 58 19,65" 30° 1 41,66"
  296,5 29° 54 58,81" 29° 58 19,39" 29° 58 19,56" 29° 58 19,73" 30° 1 41,58"
  296,75 29° 54 58,77" 29° 58 19,48" 29° 58 19,65" 29° 58 19,82" 30° 1 41,49"
IRE 297 29° 54 59,02" 29° 58 19,56" 29° 58 19,73" 29° 58 19,9" 30° 1 41,4"
  297,25 29° 54 59,28" 29° 58 19,65" 29° 58 19,81" 29° 58 19,98" 30° 1 41,32"
  297,5 29° 54 59,53" 29° 58 19,73" 29° 58 19,9" 29° 58 20,07" 30° 1 41,23"
  297,75 29° 54 59,78" 29° 58 19,81" 29° 58 19,98" 29° 58 20,15" 30° 1 41,15"
Enz. Brit. 298 29° 55 0,03" 29° 58 19,9" 29° 58 20,07" 29° 58 20,24" 30° 1 41,06"
WGS 298,24 29° 55 0,27" 29° 58 19,98" 29° 58 20,15" 29° 58 20,32" 30° 1 40,98"
IUGG 298,25 29° 55 0,28" 29° 58 19,98" 29° 58 20,15" 29° 58 20,32" 30° 1 40,97"
GRIM2 298,255 29° 55 0,29" 29° 58 19,98" 29° 58 20,15" 29° 58 20,32" 30° 1 40,97"
  298,5 29° 55 0,54" 29° 58 20,07" 29° 58 20,23" 29° 58 20,4" 30° 1 40,89"
  298,75 29° 55 0,79" 29° 58 20,15" 29° 58 20,32" 29° 58 20,49" 30° 1 40,8"
Bessel 299 29° 55 1,04" 29° 58 20,23" 29° 58 20,4" 29° 58 20,57" 30° 1 40,72"
  299,25 29° 55 1,29" 29° 58 20,32" 29° 58 20,48" 29° 58 20,65" 30° 1 40,63"
  299,5 29° 55 1,54" 29° 58 20,4" 29° 58 20,57" 29° 58 20,73" 30° 1 40,55"
  299,75 29° 55 1,79" 29° 58 20,48" 29° 58 20,65" 29° 58 20,82" 30° 1 40,46"
  300 29° 55 2,03" 29° 58 20,57" 29° 58 20,73" 29° 58 20,9" 30° 1 40,38"
 
 
Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen, für die geozentrische Breite aller halben Mittelwerte, ersichtlich:
 
für 296 n 300 gilt: 29° 58 19,22" ψ 29° 58 20,9"
 
Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: Δ ψ = 1,68"
 
 
Durch Umrechnung lassen sich die geographischen Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln:
 
für 300 > n > 296 gilt: 30° 08 17,99" φ 30° 08 24,4"
 
Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz auf: Δ φ = 6,41". Das entspricht einer Strecke von etwa 206,6 Meter.
 
D.h. die Hälften aller Mittelwerte für alle geodätischen Systeme (die bisher benutzt wurden), und damit auch für die tatsächlichen Abmaße der Erde, liegen in einem schmalen Streifen von etwa maximal 207 m.
 
Die Werte für die obere und untere Grenze liegen bei etwa 4 Bogenminuten, jeweils zu beiden Seiten hin, vom harmonischen Mittel entfernt. Dies entspricht einer Strecke von 7,7 km.
Das gesamte Intervall zwischen oberer und unterer Grenze beträgt also 15,4 km.

 

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Der Autor - Klaus Piontzik