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12 - Mittelwerte der Ellipse
| 12.0 | Mittelwerte | |
| 12.1 | Mittelwerte der Ellipsenachsen | |
| 12.2 | Mittelwerte der Ellipse | |
| 12.3 | Numerische Auswertung | |
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| 12.0 | Mittelwerte |  |
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| Es
existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das
geometrische Mittel, das arithmetrische
Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische
Mittel. Für zwei Grössen a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse einer Ellipse), aus denen der Mittelwert gebildet werden soll, gelten dann folgende Beziehungen: |
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| Das arithmetische Mittel |  |
| Das geometrische Mittel |  |
| Das harmonische Mittel |  |
| Das quadratische Mittel |  |
| Für die Mittelwerte gilt allgemein folgender Zusammenhang: |
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| 12.1 | Mittelwerte der Ellipsenachsen | |
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| Das geometrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse |  |
| Das arithmetrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse |  |
| Das harmonische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse |  |
| Das quadratische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse |  |
| 12.2 | Die Mittelwerte der Ellipse | |
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| Wie im letzten Kapitel (siehe 11) gezeigt, kann man für alle Mittelwerte auch Punkte bzw. Gleichungen ableiten, in denen die geozentrische Breite nur noch vom Formfaktor bzw. dem Numerus der Abplattung abhängig ist. |
| Für alle bisher betrachteten Fälle gilt: y = Mittelwert/2 |
| arithmetisch | geometrisch | harmonisch |
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| Alle Mittelwerte liegen aber auch innerhalb eines
gewissen Intervalles. Die Grenzen des Intervalles werden
durch die zugrunde liegenden Grössen a und b gebildet. Für
die untere Grenze gilt: x=y
= b/2 |
| untere Grenze | obere Grenze |
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| Zeichnet man die Mittelwerte (Tabelle
der Werte weiter unten) und die beiden Grenzen in die
Ellipsen bzw. Schmiegekreis-Konstruktion ein, so ergibt
sich Abbildung 12.1. Die Mittelwerte liegen dabei derart eng zusammen, das eigentlich nur das harmonische Mittel (rot) zu erkennen ist. |
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| Abbildung 12.1 - Ellipse und Mittelwerte |
| 12.3 | Numerische Auswertung | |
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| Lässt man (wie beim harmonischen Mittel) n, also den Numerus der Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln. Der Bereich ist wieder so gewählt, das alle geodätischen Systeme darin enthalten sind. |
| Zusammenfassung der Mittelwerte bzgl. der geozentrischen Breite y |
untere Grenze |
harmonisches Mittel |
geometrisches Mittel |
arithmetisches Mittel |
obere Grenze |
||
n |
b/2 |
h/2 |
g/2 |
m/2 |
a/2 |
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| 296 | 29° 54¢ 58² | 29° 58¢ 19,22² | 29° 58¢ 19,39² | 29° 58¢ 19,56² | 30° 1¢ 41,75² | |
| 296,25 | 29° 54¢ 58,26² | 29° 58¢ 19,31² | 29° 58¢ 19,48² | 29° 58¢ 19,65² | 30° 1¢ 41,66² | |
| 296,5 | 29° 54¢ 58,81² | 29° 58¢ 19,39² | 29° 58¢ 19,56² | 29° 58¢ 19,73² | 30° 1¢ 41,58² | |
| 296,75 | 29° 54¢ 58,77² | 29° 58¢ 19,48² | 29° 58¢ 19,65² | 29° 58¢ 19,82² | 30° 1¢ 41,49² | |
| IRE | 297 | 29° 54¢ 59,02² | 29° 58¢ 19,56² | 29° 58¢ 19,73² | 29° 58¢ 19,9² | 30° 1¢ 41,4² |
| 297,25 | 29° 54¢ 59,28² | 29° 58¢ 19,65² | 29° 58¢ 19,81² | 29° 58¢ 19,98² | 30° 1¢ 41,32² | |
| 297,5 | 29° 54¢ 59,53² | 29° 58¢ 19,73² | 29° 58¢ 19,9² | 29° 58¢ 20,07² | 30° 1¢ 41,23² | |
| 297,75 | 29° 54¢ 59,78² | 29° 58¢ 19,81² | 29° 58¢ 19,98² | 29° 58¢ 20,15² | 30° 1¢ 41,15² | |
| Enz. Brit. | 298 | 29° 55¢ 0,03² | 29° 58¢ 19,9² | 29° 58¢ 20,07² | 29° 58¢ 20,24² | 30° 1¢ 41,06² |
| WGS | 298,24 | 29° 55¢ 0,27² | 29° 58¢ 19,98² | 29° 58¢ 20,15² | 29° 58¢ 20,32² | 30° 1¢ 40,98² |
| IUGG | 298,25 | 29° 55¢ 0,28² | 29° 58¢ 19,98² | 29° 58¢ 20,15² | 29° 58¢ 20,32² | 30° 1¢ 40,97² |
| GRIM2 | 298,255 | 29° 55¢ 0,29² | 29° 58¢ 19,98² | 29° 58¢ 20,15² | 29° 58¢ 20,32² | 30° 1¢ 40,97² |
| 298,5 | 29° 55¢ 0,54² | 29° 58¢ 20,07² | 29° 58¢ 20,23² | 29° 58¢ 20,4² | 30° 1¢ 40,89² | |
| 298,75 | 29° 55¢ 0,79² | 29° 58¢ 20,15² | 29° 58¢ 20,32² | 29° 58¢ 20,49² | 30° 1¢ 40,8² | |
| Bessel | 299 | 29° 55¢ 1,04² | 29° 58¢ 20,23² | 29° 58¢ 20,4² | 29° 58¢ 20,57² | 30° 1¢ 40,72² |
| 299,25 | 29° 55¢ 1,29² | 29° 58¢ 20,32² | 29° 58¢ 20,48² | 29° 58¢ 20,65² | 30° 1¢ 40,63² | |
| 299,5 | 29° 55¢ 1,54² | 29° 58¢ 20,4² | 29° 58¢ 20,57² | 29° 58¢ 20,73² | 30° 1¢ 40,55² | |
| 299,75 | 29° 55¢ 1,79² | 29° 58¢ 20,48² | 29° 58¢ 20,65² | 29° 58¢ 20,82² | 30° 1¢ 40,46² | |
| 300 | 29° 55¢ 2,03² | 29° 58¢ 20,57² | 29° 58¢ 20,73² | 29° 58¢ 20,9² | 30° 1¢ 40,38² |
| Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen, für die geozentrische Breite aller halben Mittelwerte, ersichtlich: |
| für 296 £ n £ 300 Þ 29° 58¢ 19,22² £ y £ 29° 58¢ 20,9² |
| Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: D y = 1,68² |
| Durch Umrechnung lassen sich die geographischen Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln: |
| für 300 > n > 296 Þ 30° 08¢ 17,99² £ j £ 30° 08¢ 24,4² |
| Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz auf: D j = 6,41². Das entspricht einer Strecke von etwa 206,6 Meter. |
| D.h. die Hälften aller Mittelwerte für alle geodätischen Systeme (die bisher benutzt wurden), und damit auch für die tatsächlichen Abmaße der Erde, liegen in einem schmalen Streifen von etwa maximal 207 m. |
| Die Werte für die obere und untere Grenze liegen bei
etwa 4 Bogenminuten, jeweils zu beiden Seiten hin, vom
harmonischen Mittel entfernt. Dies entspricht einer
Strecke von 7,7 km. Das gesamte Intervall zwischen oberer und unterer Grenze beträgt also 15,4 km. |
