DIE GESTALT DER ERDE

11 - Das harmonische Mittel

11.0 Das harmonische Mittel  
11.1 Das harmonische Mittel und die Ellipse  
11.2 Ableitung des Schnittpunktes  
11.3 Numerische Auswertung  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
 zur HomePage
 
zur vorherigen Seite zurück Verzeichnis Home zur nächsten Seiteweiter

 

 

11.0

Das harmonische Mittel

zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Es existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das geometrische Mittel, das arithmetrische Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische Mittel. An dieser Stelle betrachten wir zuerst nur das harmonische Mittel.

Für zwei Grössen a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse einer Ellipse), aus denen der harmonische Mittelwert gebildet werden soll, gilt dann folgende Beziehung:

 
Das harmonische Mittel allgemein: harmonisches Mittel
 
Das harmonische Mittel für die (Halb)Achsen einer Ellipse harmonisches Mittel einer Ellipse

 

 

11.1

Das harmonische Mittel und die Ellipse

zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
 
Das harmonische Mittel nimmt eine besondere Stellung bezüglich der Ellipse ein. Es existiert nämlich ein Zusammenhang mit der Schmiegekreis-Konstruktion.

In Abbildung 11.1 sind die x und die y - Komponente des Punktes S das halbe harmonische Mittel zwischen den beiden Halbachsen a und b. Es gilt: xS = yS = yP = h/2=hm

Der Punkt S ist gleichzeitig auch der Schnittpunkt der (Ellipsen)Diagonalen AB' mit der Quadratdiagonalen MC'

 
 
Schnittpunkte
 
Abbildung 11.1 - Ellipse und harmonisches Mittel

 

 

11.2

Ableitung des Schnittpunktes

zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Des Punkt S liegt wie der Punkt SG auf der Diagonalen AB'. Wie in Kapitel10 schon mit dem Punkt SG geschehen, kann der Punkt S auch hier auf die Ellipse übertragen werden. Und so entsteht der Punkt P, als Schnittpunkt der y-Koordinate (des Punktes S) mit der Ellipse.
 
Die Koordinaten des Schnittpunktes P lassen sich rein analytisch, also mathematisch, ermitteln. Die Ableitung für den Schnittpunkt geschieht folgendermassen:
 
Das harmonische Mittel für die beiden Halbachsen der Ellipse :
 
harmonische Mittel für die beiden Halbachsen der Ellipse
 
Für die Funktionsgleichung einer Ellipse gilt :
 
Funktionsgleichung einer Ellipse
 
Aufgrund der geometrischen Konstruktion (Abb. 11.1) gilt für die y-Koordinate: y = yP = h/2
Ersetzen von y durch h in der Funktionsgleichung und anschliessende Auflösung nach x liefert dann xP:
 
Funktionsgleichung für x
 
Für die geozentrische Breite Psi des Punktes P gilt: tan y = y/x = h/(2x)
Einsetzen der entsprechenden Terme in die Gleichung und anschliessende Kürzung liefert:
 
tangens geozentrische Breite
 
Der Formfaktor fo schließlich, kann ja auch noch durch n, den Numerus der Abplattung dargestellt werden:
Formfaktor
 
Ersetzen von fo durch n und Umstellung liefert dann den geozentrischen Winkel:
 
geozentrischer Winkel

 

 

11.3

Numerische Auswertung

zur Homepage zurück ins Verzeichnis zum Anfang der Seite
 
Lässt man n, also den Numerus der Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln. Der Bereich ist so gewählt, das alle geodätischen Systeme darin enthalten sind.
 
 
Geodätisches System Numerus der Abplattung

geozentrische Breite

 

n

ψ

  296 29° 58 19,22"
  296,25 29° 58 19,31"
  296,5 29° 58 19,39"
  296,75 29° 58 19,48"
IRE 297 29° 58 19,56"
  297,25 29° 58 19,65"
  297,5 29° 58 19,73"
  297,75 29° 58 19,81"
Enz. Brit. 298 29° 58 19,9"
WGS 298,24 29° 58 19,98"
IUGG 298,25 29° 58 19,98"
GRIM2 298,255 29° 58 19,98"
  298,5 29° 58 20,07"
  298,75 29° 58 20,15"
Bessel 299 29° 58 20,23"
  299,25 29° 58 20,32"
  299,5 29° 58 20,4"
  299,75 29° 58 20,48"
  300 29° 58 20,57"
 
 
Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen, für die geozentrische Breite, ersichtlich:
für 296 n 300 gilt: 29° 58 19,22" ψ 29° 58 20,57"
 
Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: Δ ψ = 1,35"
 
 
Durch Umrechnung lassen sich die geographischen Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln:
 
für 300 > n > 296 gilt: 30° 08 17,66" φ 30° 08 24,4"
 
Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz auf: Δ φ = 6,74". Das entspricht einer Strecke von etwa 208,5 Meter

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier sogar weitere zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns mit:

 
φ 5 = +30° 08 17,6-24,5" N
φ 6 = -30° 08 17,6-24,5" S

 

zum Anfang der Seite

zur PiMath HomePage

zur vorherigen Seite zurück Verzeichnis Home zur nächsten Seiteweiter

 

Der Autor - Klaus Piontzik