Planetare Systeme - Band 1: Klassische Systeme

8.2 Die Planetenbahnen

 

Unser Sonnensystem besitzt mit den Planetenbahnen ebenfalls eine konzentrische Struktur. Es werden die Abstände in astronomische Einheiten für die ersten 8 Planeten aus der gängigen Literatur zusammen getragen. Hierbei werden die einzelnen Planeten nach Abstand geordnet und durchnummeriert.

 

Planet Nr Abstand ln(Abstand)
    (AE)  
       

Merkur

0

0,3871

-0,94907222

Venus

1

0,723

-0,32434606

Erde

2

1

0

Mars

3

1,524

0,42133846

Jupiter

4

5,203

1,64923538

Saturn

5

9,582

2,25988634

Uranus

6

19,201

2,95496236

Neptun

7

30,047

3,40276282

 

AE =astronomische Einheit = 149.597.870 m

Aus der Tabelle ergibt sich die folgende Funktion y für die Logarithmen der Abstände:

Logarithmierte Planetenbahnen

Abbildung 8.2.1 Logarithmierte Planetenbahnen

 

Die gestrichelte Linie im Diagramm stellt eine Näherungsgerade dar.

Wie zu sehen existiert schon eine gute Linearität der Werte. Lediglich Erde und Mars weichen von der Näherungsgeraden ab. Punkt 3 (Erde) wird daher auf Punkt 1,5 geschoben und aus Punkt 3 (Mars) wird Punkt 2. Die liniearisierte Funktion sieht nun so aus:

Linearisierung

Abbildung 8.2.2 Linearisierung

 

Mit dem gleichen Verfahren wie bei den Sonnenschalen beschrieben werden die Parameter der Näherungsgeraden ermittelt.

Die Gleichung für die Näherungsgerade lautet: y = 0,62169x - 0,94907

Für die Planetenbahnen gilt: Abstand = 0,3871·e0,62169tx

Damit ergeben sich folgende Werte:

 

Planet Nr Abstand Abstand
    [AE] [AE]
      berechnet
       

Merkur

0

0,3871

0,3871

Venus

1

0,723

0,7208087

Erde

1,5

1

0,98359983

Mars

2

1,524

1,34219887

Jupiter

4

5,203

4,65383058

Saturn

5

9,582

8,66577519

Uranus

6

19,201

16,1363114

Neptun

7

30,047

30,047

Die gesamte Situation für die Planetenbahnen sieht dann so aus:

Planetenbahnen als e-Funktion

Abbildung 8.2.3 Planetenbahnen als e-Funktion

 

Bemerkenswert ist die Lücke für n=3. Der Abstandswert dazu beträgt 2,5 AE. Der Asteroidengürtel erstreckt sich von 2,0 bis 3,4 AE. Der Mittelwert liegt bei 2,7 AE. Damit deckt sich das Modell sehr gut mit den realen Begebenheiten. Und es zeigt, dass der Asteroidengürtel mit zum Schwingungssystem der Planeten gehört. Und es zeigt auch das die Prozedur der Logarithmierung und Linearisierung kein willkürlicher Akt ist, sondern die harmonikalen Strukturen des Systems offenbart.

Daher wird hier ein neuer Ansatz generiert, diesmal mit dem Asteroidengürtel und Pluto dazu.

 

Planet Nr Abstand ln(Abstand)
    (AE)  
       

Merkur

0

0,3871

-0,94907222

Venus

1

0,723

-0,32434606

Erde

2

1

0

Mars

3

1,524

0,42133846

Asteroidengürtel

4

2,7

0,99325177

Jupiter

5

5,203

1,64923538

Saturn

6

9,582

2,25988634

Uranus

7

19,201

2,95496236

Neptun

8

30,047

3,40276282

Pluto

9

39,482

3,67584487

Aus der Tabelle ergibt sich die folgende Funktion für die Logarithmen der Abstände:

Logarithmierte Planetenbahnen

Abbildung 8.2.4 Logarithmierte Planetenbahnen

 

Die gestrichelte Linie im Diagramm stellt wieder eine Näherungsgerade dar. Wie zu sehen ist, existiert schon ein sehr gutes Linearitätsverhalten der Werte. Die Werte werden noch linearisiert und ergeben so folgendes Diagramm:

 

Linearisierung

Abbildung 8.2.5 Linearisierung

 

ie Gleichung für die Näherungsgerade lautet: y = 0,52856x - 0,94907

Für die Planetenbahnen gilt: Abstand = 0,3871·e0,52856x

Damit ergeben sich folgende Werte:

 

Planet Nr Abstand
  neu [AE]
     

Merkur

0

0,3871

Venus

1,3

0,723

Erde

1,9

1

Mars

2,6

1,524

Asteroidengürtel

3,75

2,7

Jupiter

5

5,203

Saturn

6,1

9,582

Uranus

7,5

19,201

Neptun

8,25

30,047

Pluto

8,75

39,482

 

Die neue Situation für die Planetenbahnen sieht dann so aus:

Planetenbahnen als e-Funktion

Abbildung 8.2.6 Planetenbahnen als e-Funktion

 

Es existiert noch die Möglichkeit für die Nummerierungswerte eine bessere Anpassung zu erhalten. Ausgehend von der bisherigen Linearisierung lassen sich genaue Nummern nämlich berechnen, genau so wie es schon bei den Sonnenschalen zu sehen war. In der folgenden Tabelle sind sowohl die berechneten Nummerierungswerte als auch die angenäherten Nummern und die Ausgangsnummern zu sehen.

 

Planet Nr Abstand Nr Nr
  alt [AE] genähert berechnet
         

Merkur

0

0,3871

0

0

Venus

1

0,723

1,3

1,182

Erde

2

1

1,9

1,796

Mars

3

1,524

2,6

2,593

Asteroidengürtel

4

2,7

3,75

3,675

Jupiter

5

5,203

5

4,916

Saturn

6

9,582

6,1

6,071

Uranus

7

19,201

7,5

7,386

Neptun

8

30,047

8,25

8,233

Pluto

9

39,482

8,75

8,750

 

Die genauere Funktion für die Planetenbahnen ist in der folgenden Abbildung 8.2.7 dargestellt.

Planetenbahnen

Abbildung 8.2.7 Planetenbahnen

 

Zwischen Bahnradien und Umlaufzeiten existiert ein mathematisches Verhältnis für die Planeten, dass es gestattet auch die Umlaufzeiten als e-Funktion darzustellen.

 

Es gilt allgemein:

Für den Merkur gilt dann ebenso:

Durch Umstellen ergibt sich die Gleichung für die Umlaufzeiten der Planeten:

Einsetzen aller Größen liefert: