Planetare Systeme - Band 1: Klassische Systeme

7.4 Bestimmung der Näherungsgeraden

 

Es existieren zwei Möglichkeiten um aus den logarithmierten (und linearisierten) Daten eine Näherungsgerade zu ermitteln.
a) durch lineare Regression (ohne vorherige Linearisierung)
b) durch die vorhandenen Minimum-Maximum-Werte

Im folgenden wird hier Fall b) behandelt, da Fall a) über ein handelsübliches Kalkulationsprogramm behandelt werden kann.

Gesucht wird nun die Näherungsgerade y = ax + b für die logarithmierten Werte. In der folgenden Abbildung ist die Näherungsgerade als gestrichelte Linie eingezeichnet.

 

Näherungsgerade

Abbildung 7.2 Näherungsgerade

 

Es sind n Werte gegeben, nämlich: y0, y1, y2, ... yk, ... yn

mit yk = ln wk

Es existiert ein Minimum ymin und ein Maximum ymax

 

Die Steigung a der Näherungsgeraden lässt sich aus den Min-Max-Werten und der neuen genäherten Nummerierung ermitteln. Es gilt:

 

7.4.1 - Gleichung:

Steigung

 

delta y ist die Differenz zwischen Minimal- und Maximalwert:

7.4.2 - Gleichung:

 

delta x ist der Maximalwert der neuen Nummerierung:

7.4.3 - Gleichung:

 

Die additative Konstante der gesuchten Funktion ergibt sich aus dem kleinsten Wert:

7.4.4 - Gleichung:

 

Für die Näherungsgerade gilt:

7.4.5 - Gleichung:

 

Einsetzen aller Terme ergibt:

7.4.6 - Gleichung: