Planetare Systeme - Band 1: Klassische Systeme

7.2 Logarithmierung

 

Die gegebenen Werte wk werden (in einem nächsten Schritt) logarithmiert. Die logarithmierten Werte werden als Funktion der Nummerierung dargestellt. Siehe dazu die Bilder aus Abbildung 7.1.

Logarithmierte Werte

Abbildung 7.1 Logarithmierte Werte

 

Nach der Logarithmierung muss zumindest ein annähernd lineares Verhalten der Funktion vorhanden sein.

Diese Linearität ist notwendige Voraussetzung dafür, dass sich die Folge von n Werten auch in eine e-Funktion umwandeln lässt.

Bei zwei Werten kann der zweite Wert auf eine beliebige Nummerierungsposition geschoben werden. Damit ist keine eindeutige Gerade definierbar. Erst wenn mindestens drei Werte vorhanden sind, lässt sich daraus eine eindeutige Gerade extrahieren.

Die Bilder aus Abbildung 7.1 zeigen die verschiedenen Formen von Funktionen, wie sie real bei der Logarithmierung auftreten können.

Zeile 1

An den Bildern zu den Marsmonden und den Planetenbahnen ist eine fast perfekte Linearität der logarithmierten Werte zu erkennen.

Zeile 2

Am Bild der Saturnringe ist eine gute Linearität der logarithmierten Werte zu erkennen.

Am Bild der Satellitengalaxien ist zu erkennen, dass die meisten Daten schon eine gute Linearität besitzen. Lediglich im Nahbereich und im Fernbereich sind abweichend Werte vorhanden, die dann, durch die noch folgende Linearisierung, geglättet werden können.

Zeile 3

Am Bild zu den Neptunringen ist eine gute Linearität der logarithmierten Werte zu erkennen.

Die Schalen der Sonne sehen auf den ersten Blick nicht linear aus. Man sollte aber beachten, dass Punkt 3 hier etwa auf gleicher Höhe wie Punkt 2 liegt, was einen ganzen Zählschritt nicht rechtfertigt. Wenn Punkt 4 nach 5 versetzt wird, ergibt sich schon eine erstaunlich gute Linearität. Dies zeigt, dass über eine genäherte Nummerierung eine größere Linearität zu erreicht werden kann.

Zwischenbilanz

Die Linearität der logarithmierten Werte ist bei den Beispielen aus den Zeilen 1, 2 und 3 schon so gut, dass hier von einem starken Zusammenhang zur e-Funktion ausgegangen werden kann.

Zeile 4

Bei den Monden des Uranus ist deutlich die treppenartige Struktur zu erken-nen. Der steile Anstieg zwischen den Punkten 17 und 18 bedeutet nichts anderes als die Existenz eines großen Freiraumes zwischen den Bahnen.

Bei allen Planeten lassen sich die Bahnen der Monde in zwei Teilbereiche aufspalten. In einen Nahbereich und in einen Fernbereich. Trennt man die beiden Bereiche und behandelt sie getrennt, so lässt sich auch hier eine gute Linearisierung erreichen.

Bei den Monden des Uranus ist ebenfalls deutlich die treppenartige Struktur zu erkennen. Auch hier ergeben sich wie bei Uranus ein Nah- und ein Fernbereich. Im Unterschied zu Uranus existieren aber auch Monde im Bereich der Lücke, so dass hier von einem Mittelbereich gesprochen werden kann.

Tauchen Diagramme wie bei den Monden des Saturn und Uranus auf, so werden erst mal nur die Daten aus dem Nahbereich verwertet. Der Mittel- bzw. Fernbereich wird dann durch Extrapolation der gefundenen Funktion gewonnen.