Planetare Systeme - Band 1: Klassische Systeme

7.7 Global Scaling

 

Es sind n Werte gegeben, nämlich: w0, w1, w2, ... wk, ... wn

Es existieren Eichwerte: Meich (die auf den physikalischen Größen des Protons beruhen)

Die Skalierung im Golbal Scaling wird durch folgende Gleichung definiert:

 
7.7.1 - Gleichung:

Skalierung im Golbal Scaling

   
Aufgrund der Logarithmen-Gesetze gilt:

Skalierung im Golbal Scaling

   
Nach Gleichung 7.4.5 gilt:

Gleichung 7.4.5

   
So lässt sich schreiben:

Skalierung im Golbal Scaling

   
Einsetzen des Terms für y:

Skalierung im Golbal Scaling

   
Nach Gleichung 7.4.4 gilt auch:

additative Konstante

 

Insgesamt ergibt sich:

7.7.2 - Gleichung:

Einsetzen aller Terme ergibt:

7.7.3 - Gleichung:

Gesamtgleichung für Global Scaling

 

Wenn das Eichmass gleich 1 (Meich = 1) gesetzt wird, so entsteht einfach die Gleichung 7.4.5:

Sk = yk = axk+b

Das bedeutet:

1) Es besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen der hier geschilderten Prozedur der e-Funktions-Findung und dem Global Scaling

2) Die hier geschilderte Prozedur liefert eine Form der Skalierung, die fundamentaler Natur ist, während das Global Scaling eine eher abgeleitete Größe darstellt, weil dort ein bestimmtes Eichmaß benutzt wird.

Das lässt sich daran erkennen, dass in der Gleichung 7.7.2 das Eichmass lediglich in der additativen Komponente der Geradengleichung vorkommt.

Sind alle Werte gegeben, stellt dieser Term lediglich eine additative Konstante dar. Der eigentliche Skalierungsvorgang findet aber im ersten Term statt.

Man kann das auch noch so darstellen:

Die additative Konstante erhält einen neuen Namen:

7.7.4 - Definition:

Eichlonstante

Dann lässt sich die Skalierungsfunktion auch so darstellen:

7.7.5 - Gleichung:

Skalierungsfunktion

D.h. wir haben hier eine Geradengleichung vor uns. Die Steigung der Geraden wird durch den ersten Term ax dargestellt. Die additative Konstante b verschiebt diese Gerade lediglich in der Senkrechten, also entlang der y-Achse.

3) Die hier geschilderte Prozedur ist ein Äquivalent zum Global Scaling. Damit wird das Global Scaling noch mal bestätigt, hinsichtlich der logarithmischen Struktur des Universums (siehe auch Kapitel 8).

Allerdings zeigen die Gleichungen 7.7.2 und 7.7.4 das die Wahl des Eichmaßes beliebig ist. Statt der Protonengrößen im Global Scaling lässt sich auch jede andere Größe wie z.B. das Elektron benutzen.

Mathematisch viel natürlicher ist es, das Eichmass gleich 1 (Meich = 1) zu setzen.
Dann lassen sich die harmonikalen Größen nach Gleichung 7.6.1 bzw. 7.6.2 ermitteln.

Als Beispiel dienen hier die Planetenbahnen. In der Tabelle ist die Ursprungsnummerierung (alt) enthalten, sowie die genäherte Nummerierung aus der Linearisierung und die berechnete Nummerierung. Die berechneten Werte kann man mit Gleichung 7.7.2 bzw. 7.7.4 in die Global Scaling Werte umwandeln.

 

Planet Nr Abstand Nr xk a·xk Global Scaling
  alt [AE] genähert berechnet   a·xk+beich
             

Merkur

0

0,3871

0

0

0

60,88009872

Venus

1

0,723

1,3

1,182

0,624726165

61,50482488

Erde

2

1

1,9

1,796

0,949072221

61,82917094

Mars

3

1,524

2,6

2,593

1,370410679

62,25050940

Asteroiden

4

2,7

3,75

3,675

1,942323994

62,82242271

Jupiter

5

5,203

5

4,916

2,598307604

63,47840632

Saturn

6

9,582

6,1

6,071

3,208958560

64,08905728

Uranus

7

19,201

7,5

7,386

3,904034582

64,78413330

Neptun

8

30,047

8,25

8,233

4,351835044

65,23193376

Pluto

9

39,482

8,75

8,750

4,624917093

65,50501581

 

Im Global Scaling wird die Eigenwellenlänge des Protons mit einem Wert von 2,103089 10-16 m als Eichmaß angegeben. Damit ergibt sich beich = 60,88.

Für die Planetenbahnen gilt: a = 0,52856 (siehe Seite 151)

Die berechneten Nummerierungswerte xk spiegeln die absoluten harmonikalen Verhältnisse eines Systems wieder und sind von einem Eichmaß völlig unabhängig. Beim Global Scaling wird die eigentliche harmonikale Größe a·xk durch den konstanten Summanden beich lediglich in der Skala verschoben. Die Wahl des Eichparameters ist daher frei wählbar.

Auch hier in diesem Kapitel kann man in allen Gleichungen ln durch log ersetzen. So gilt dann die gesamte Betrachtung und Funktionsermittlung auch zur Basis 10.