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8
- Fourier-Analyse
8.1 - Vorbereitung
zur Fourier-Analyse
| Ausgangspunkt der Fourieranalyse ist das Feld der Totalintensität, wie es im Kapitel 2 (Siehe dazu Kapitel 2 – Abb.2.1) schon vorgestellt wurde und in Bild 8.1 noch einmal dargestellt wird (IGRF 1980). Mittels dieser Grafik wurde eine Tabelle für die Werte der Totalintensität generiert. |
| Voraussetzung: |
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Eine Tabelle für die ermittelten Werte
lässt sich hier finden: TABELLE DES ERDFELDES Das Gesamtfeld wird
in einzelne waagerechte Schnitte
zerlegt. |
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| Abbildung 8.1 - Weltkarte der magnetischen Totalintensität |
| Jeden Schnitt unterzieht man einer
eindimensionalen (numerischen) Fourieranalyse, mit der
Variablen lambda und der Schrittweite 7,5 Grad, d.h. mit
48 Punkten pro Schnitt. Es ergeben sich so insgesamt 1106
Punkte für die Analyse des Erdfeldes. Als Grundlage bzw. Werkzeug der gesamten Analyse dient ein numerisches (eindimensionales) harmonisches Verfahren, wie es im Buch „Mathematik für Ingenieure“ von Brauch/Dreyer/Haacke beschrieben wird. Das eindimensionale numerische Verfahren funktioniert mit einem Winkel von 0 bis 360 Grad. Für diese erste numerische harmonische Analyse der Schnitte entlang der Breitenkreise, also mit dem Längengrad lambda strich, ist die Bedingung für den Wertebereich erfüllt. Lediglich der Parameter lambda strich muss angepasst werden. Es gilt:  Dieses Verfahren liefert zu einer gegebenen Zahlenfolge, also hier den Werten eines Schnittes, die entsprechenden Fourierkoeffizienten. Mit diesen Koeffizienten lassen sich die Schnitte als Summe von Winkelfunktionen darstellen. |
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| 8.1.1 - Zweidimensionale Fourier-Analyse | ||
| Dann lassen sich die 24 Schnitte, durch die erste Fourieranalyse bedingt, allgemein so darstellen: | ||
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bis |  |
| Schreibt man diese Gleichungen aus, so ergibt sich folgendes Bild: | ||
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| Durch die erste numerische harmonische
Analyse ensteht allgemein ein Gleichungssystem von m+1
Gleichingen mit jeweils n+1 Gliedern.
Dann lässt sich über die Spalten der
Koeffizientenmatrix (mit den Am
und Bm) eine
weitere Fourieranalyse, mit der Variablen Phi,
durchführen. Diese zweite numerische harmonische Analyse liefert die Endkoeffizienten mit den Aji und Bji |
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| Wenn man den zonal, sektoriellen Teil vom tesseralen Anteil trennt, ergibt sich für jeden Punkt auf der Erde mit den Parametern Lambda, Phi dann: | ||
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| Achtung: Im Buch ist in dieser Gleichung ein Druckfehler aufgetreten !!! | |
| Der erste Term für Y (also der zonal, sektorielle Teil) lässt sich noch so ergänzen: | |
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| Dann lässt sich die qualitative Endgleichung für einen Punkt auf der Erdoberfläche so darstellen: |
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| Zu beachten ist hier, dass Lambda, Phi nicht direkt die geographischen Koordinaten darstellen, sondern Parameter sind, die diese Koordinaten repräsentieren. |
8.2 - Das quantitative Ergebnis
| Eine numerische Auswertung der angegebenen Tabelle des Erdmagnetfeldes mittels der beschriebenen Fourieranalyse erzeugt, für die magnetische Flussdichte B, folgendes Ergebnis: |
| (alle Werte in mükrotesla) |
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| Wie an den Variablen zu sehen ist zerlegt sich das Magnetfeld in einen statischen, einen sektoriellen (BS), einen zonalen (BZ) und einen tesseralen (BT) Anteil (siehe Kapitel 5). Es treten lediglich Terme auf die auch in der Gleichung von Gauß enthalten sind (siehe Kapitel 2.7). Es gilt dann: |
| B = 47,2183 + BZ + BS + BT (mükrotesla) |
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