Abstandsteilungen und Winkelteilungen

Außer Linienbildung existieren noch die regelmäßigen Abstands-und Winkelteilungen als Grundbeziehungen.

Mehrere Objekte können gleiche Abstände von einander besitzen. Wie bei der Linienbildung sind auch hier mindestens drei Punkte erforderlich, die dann zwei gleiche Abstände erzeugen. Dies könnte man so formulieren: Eine regelmäßige Abstands-Teilung muß durch mindestens drei Punkte, und zwei gleichen Abständen zwischen diesen Punkten, gekennzeichnet sein.

Zwei Abstände können aber auch hier lediglich durch eine Symmetrie erfüllt werden. Je mehr Objekte mit gleichem Abstand vorhanden sind, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit einer regelmäßigen Teilung. Eine Verschärfung des Kriteriums läßt sich auch hier durch eine Erhöhung der Punkt- und der Abstandsanzahl erreichen.

Der Einfachheit halber wird künftig nur noch von Abstands-Teilungen die Rede sein, wenn eine einfache regelmäßige Abstandsteilung vorliegt.

Bei der Konstruktion von Abstandsteilungen kann sich folgende, oder auch eine ähnliche, Situation ergeben:

Hier verbleibt eine Teilung ohne Punkt. Egal aus welchen Gründen ein oder mehrere Orte unbelegt bleiben, die Teilung erfüllt in jedem Fall das Kriterium 5.

Es wurde ja nicht gefordert, das die Punkte aufeinander folgend angeordnet sein müssen. Der Abstand bleibt bei der obigen Konstruktion invariant, und man erhält ja sogar noch einen Abstand mehr, als in Kriterium 5 gefordert. Daher können, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, auch solche Abstandsteilungen benutzt werden, deren Teilungslinien nicht vollständig belegt sind.

Zu beachten ist noch der Umstand, das die Punkte selber nicht unbedingt auf einer Linie liegen müssen. Tun sie es doch einmal, so haben wir eine besondere Art der Abstandsteilung erhalten, nämlich:

Eine typische Anwendung der linearen Unterteilung ist die ständige Halbierung einer Strecke.
Die daraus enstehende Abstandsteilung besitzt die kleinste vorkommende Halbierungsstrecke als Abstand a. Das sieht dann so aus:

Allgemein lassen sich durch lineare Unterteilungen beliebige ganzzahlige Teilungsverhältnisse darstellen. Umgekehrt bieten lineare Unterteilungen aber auch die Möglichkeit ganzzahlige Vielfache von Strecken abzubilden. Lineare Unterteilungen eigenen sich damit vorzüglich zur Beschreibung von Proportionen.

Zeichnet man nur die Punkte ein, ergibt sich folgendes Bild:

Hieran kann man erkennen, das sich das Vorhandensein einer linearen Unterteilung nicht feststellen läßt, wenn nur die Punkte allein betrachtet werden. So ist auch nachvollziehbar, mit welch einfachen Methoden selbst lineare Zusammenhänge verschleiert werden können.

Mit Hilfe der Abstandsteilungen kann noch eine weitere wichtige Anwendung abgeleitet werden, nämlich die so genannten Gitter.
Liegt z.B. eine Abstands-Teilung in waagerechter Richtung vor, und existiert dazu auch in senkrechter Richtung eine andere Abstandsteilung, so läßt sich, mit den beiden gegebenen Abständen als Grundseiten, ein rechteckiges Gitter erzeugen. Daraus direkt ableitbar sind sämtliche Gitterstrukturen, die vorkommen können.

Außer Abständen (Strecken) lassen sich auch Winkel zur Geometrienbildung benutzen. Das Kriterium für Abstandsteilungen läßt sich nämlich auf Winkel anwenden.

Regelmäßige Winkelteilungen werden bei der Konstruktion von Vielecken benötigt, also Figuren die 5,6,7 oder mehr Ecken und Seiten besitzen. Wie bei den Abständen können drei Punkte, mit zwei Winkeln dazwischen, lediglich eine Symmetrie bzw. ein Dreieck oder auch Teil eines Vierecks darstellen. Auch hier muß eine Verschärfung erfolgen, so das ein Kriterium für Winkelteilungen also lautet:

Ähnlich der linearen Unterteilung bei den Abstandsteilungen, können bei Winkelteilungen alle Punkte auf einem Kreisradius angeordnet sein. Sie besitzen also gleichen Abstand vom gegebenen Zentrum aus.