Es existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das
geometrische Mittel, das arithmetrische
Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische
Mittel.
Für zwei Grössen
a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse
einer Ellipse), aus denen der Mittelwert gebildet werden
soll, gelten dann folgende Beziehungen:
Das arithmetische Mittel
Das geometrische Mittel
Das harmonische Mittel
Das quadratische Mittel
Für die Mittelwerte gilt allgemein folgender Zusammenhang:
12.1
Mittelwerte der Ellipsenachsen
Mittelwerte der Ellipsenachsen
Das geometrische Mittel für die Radien
bzw. Durchmesser einer Ellipse
Das arithmetrische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse
Das harmonische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse
Das quadratische Mittel für die Radien bzw. Durchmesser einer Ellipse
12.2
Die Mittelwerte der Ellipse
Wie im letzten Kapitel (siehe 11)
gezeigt, kann man für alle Mittelwerte auch Punkte bzw.
Gleichungen ableiten, in denen die geozentrische Breite
nur noch vom Formfaktor bzw. dem Numerus der Abplattung
abhängig ist.
Für alle bisher betrachteten Fälle gilt:
ψ = Mittelwert/2
arithmetisch
geometrisch
harmonisch
Alle Mittelwerte liegen aber auch innerhalb eines
gewissen Intervalles. Die Grenzen des Intervalles werden
durch die zugrunde liegenden Grössen a und b gebildet.
Für die untere Grenze gilt: x = y = b/2
Für die obere Grenze gilt: x = y = a/2
untere Grenze
obere Grenze
Zeichnet man die Mittelwerte (Tabelle
der Werte weiter unten) und die beiden Grenzen in die
Ellipsen bzw. Schmiegekreis-Konstruktion ein, so ergibt
sich Abbildung 12.1.
Die Mittelwerte liegen dabei derart eng zusammen, das
eigentlich nur das harmonische Mittel (rot) zu erkennen
ist.
Abbildung 12.1 - Ellipse und Mittelwerte
12.3
Numerische Auswertung
Lässt
man (wie beim harmonischen Mittel) n, also den Numerus der
Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich
durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln.
Der Bereich ist wieder so gewählt, das alle geodätischen
Systeme darin enthalten sind.
Zusammenfassung der Mittelwerte bzgl. der geozentrischen Breite ψ
untere Grenze
harmonisches Mittel
geometrisches Mittel
arithmetisches Mittel
obere Grenze
n
b/2
h/2
g/2
m/2
a/2
296
29° 54‘ 58"
29° 58‘ 19,22"
29° 58‘ 19,39"
29° 58‘ 19,56"
30° 1‘ 41,75"
296,25
29° 54‘ 58,26"
29° 58‘ 19,31"
29° 58‘ 19,48"
29° 58‘ 19,65"
30° 1‘ 41,66"
296,5
29° 54‘ 58,81"
29° 58‘ 19,39"
29° 58‘ 19,56"
29° 58‘ 19,73"
30° 1‘ 41,58"
296,75
29° 54‘ 58,77"
29° 58‘ 19,48"
29° 58‘ 19,65"
29° 58‘ 19,82"
30° 1‘ 41,49"
IRE
297
29° 54‘ 59,02"
29° 58‘ 19,56"
29° 58‘ 19,73"
29° 58‘ 19,9"
30° 1‘ 41,4"
297,25
29° 54‘ 59,28"
29° 58‘ 19,65"
29° 58‘ 19,81"
29° 58‘ 19,98"
30° 1‘ 41,32"
297,5
29° 54‘ 59,53"
29° 58‘ 19,73"
29° 58‘ 19,9"
29° 58‘ 20,07"
30° 1‘ 41,23"
297,75
29° 54‘ 59,78"
29° 58‘ 19,81"
29° 58‘ 19,98"
29° 58‘ 20,15"
30° 1‘ 41,15"
Enz. Brit.
298
29° 55‘ 0,03"
29° 58‘ 19,9"
29° 58‘ 20,07"
29° 58‘ 20,24"
30° 1‘ 41,06"
WGS
298,24
29° 55‘ 0,27"
29° 58‘ 19,98"
29° 58‘ 20,15"
29° 58‘ 20,32"
30° 1‘ 40,98"
IUGG
298,25
29° 55‘ 0,28"
29° 58‘ 19,98"
29° 58‘ 20,15"
29° 58‘ 20,32"
30° 1‘ 40,97"
GRIM2
298,255
29° 55‘ 0,29"
29° 58‘ 19,98"
29° 58‘ 20,15"
29° 58‘ 20,32"
30° 1‘ 40,97"
298,5
29° 55‘ 0,54"
29° 58‘ 20,07"
29° 58‘ 20,23"
29° 58‘ 20,4"
30° 1‘ 40,89"
298,75
29° 55‘ 0,79"
29° 58‘ 20,15"
29° 58‘ 20,32"
29° 58‘ 20,49"
30° 1‘ 40,8"
Bessel
299
29° 55‘ 1,04"
29° 58‘ 20,23"
29° 58‘ 20,4"
29° 58‘ 20,57"
30° 1‘ 40,72"
299,25
29° 55‘ 1,29"
29° 58‘ 20,32"
29° 58‘ 20,48"
29° 58‘ 20,65"
30° 1‘ 40,63"
299,5
29° 55‘ 1,54"
29° 58‘ 20,4"
29° 58‘ 20,57"
29° 58‘ 20,73"
30° 1‘ 40,55"
299,75
29° 55‘ 1,79"
29° 58‘ 20,48"
29° 58‘ 20,65"
29° 58‘ 20,82"
30° 1‘ 40,46"
300
29° 55‘ 2,03"
29° 58‘ 20,57"
29° 58‘ 20,73"
29° 58‘ 20,9"
30° 1‘ 40,38"
Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen,
für die geozentrische Breite aller halben Mittelwerte,
ersichtlich:
für 296 ≤ n ≤ 300 gilt: 29° 58‘ 19,22" ≤ ψ ≤ 29° 58‘ 20,9"
Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: Δψ = 1,68"
Durch Umrechnung lassen sich die geographischen
Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln:
für 300 > n > 296 gilt: 30° 08‘ 17,99" ≤ φ ≤ 30° 08‘ 24,4"
Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz
auf: Δφ = 6,41". Das entspricht einer
Strecke von etwa 206,6
Meter.
D.h. die Hälfte aller Mittelwerte für alle
geodätischen Systeme (die bisher benutzt wurden),
und damit auch für die tatsächlichen Abmaße der Erde,
liegen in einem schmalen Streifen von etwa maximal 207 m.
Die Werte für die obere und untere Grenze liegen bei
etwa 4 Bogenminuten, jeweils zu beiden Seiten hin, vom
harmonischen Mittel entfernt. Dies entspricht einer
Strecke von 7,7 km.
Das gesamte Intervall zwischen oberer und unterer Grenze
beträgt also 15,4 km.
