Das harmonische Mittel für die Radien einer Ellipse


Es existieren verschiedene Mittelwerte, und zwar sind es das geometrische Mittel, das arithmetrische Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische Mittel. An dieser Stelle betrachten wir zuerst nur das harmonische Mittel. Für zwei Grössen a und b (z.B. die grosse und die kleine Achse einer Ellipse), aus denen der harmonische Mittelwert gebildet werden soll, gilt dann folgende Beziehung:

Das harmonische Mittel allgemein:

Das harmonische Mittel für die (Halb)Achsen einer Ellipse

Das harmonische Mittel nimmt eine besondere Stellung bezüglich der Ellipse ein. Es existiert nämlich ein Zusammenhang mit der Schmiegekreis-Konstruktion.

In Abbildung 11.1 sind die x und die y - Komponente des Punktes S das halbe harmonische Mittel zwischen den beiden Halbachsen a und b. Es gilt: x_S = y_S = y_P = h/2=h_m

Der Punkt S ist gleichzeitig auch der Schnittpunkt der (Ellipsen)Diagonalen AB' mit der Quadratdiagonalen MC'

Des Punkt S liegt wie der Punkt S_G auf der Diagonalen AB'. Wie in Kapitel10 schon mit dem Punkt S_G geschehen, kann der Punkt S auch hier auf die Ellipse übertragen werden. Und so entsteht der Punkt P, als Schnittpunkt der y-Koordinate (des Punktes S) mit der Ellipse.

Die Koordinaten des Schnittpunktes Plassen sich rein analytisch, also mathematisch, ermitteln. Die Ableitung für den Schnittpunkt geschieht folgendermassen:

Das harmonische Mittel für die beiden Halbachsen der Ellipse :

Für die Funktionsgleichung einer Ellipse gilt :

Aufgrund der geometrischen Konstruktion (Abb. 11.1) gilt für die y-Koordinate: y = y_P = h/2

Ersetzen von y durch h in der Funktionsgleichung und anschliessende Auflösung nach x liefert dann x_P:

Für die geozentrische Breite Psi des Punktes P gilt: tan y = y/x = h/(2x)

Einsetzen der entsprechenden Terme in die Gleichung und anschliessende Kürzung liefert:

Der Formfaktor f_o schließlich, kann ja auch noch durch n, den Numerus der Abplattung dargestellt werden:

Ersetzen von f_o durch n und Umstellung liefert dann den geozentrischen Winkel:

Lässt man n, also den Numerus der Abplattung, in 0,25er Schritten einen bestimmten Bereich durchlaufen, erhält man eine Tabelle von Breitenwinkeln. Der Bereich ist so gewählt, das alle geodätischen Systeme darin enthalten sind.

Geodätisches System	Numerus der Abplattung	geozentrische Breite
	n	y
	296	29° 58¢ 19,22²
	296,25	29° 58¢ 19,31²
	296,5	29° 58¢ 19,39²
	296,75	29° 58¢ 19,48²
IRE	297	29° 58¢ 19,56²
	297,25	29° 58¢ 19,65²
	297,5	29° 58¢ 19,73²
	297,75	29° 58¢ 19,81²
Enz. Brit.	298	29° 58¢ 19,9²
WGS	298,24	29° 58¢ 19,98²
IUGG	298,25	29° 58¢ 19,98²
GRIM2	298,255	29° 58¢ 19,98²
	298,5	29° 58¢ 20,07²
	298,75	29° 58¢ 20,15²
Bessel	299	29° 58¢ 20,23²
	299,25	29° 58¢ 20,32²
	299,5	29° 58¢ 20,4²
	299,75	29° 58¢ 20,48²
	300	29° 58¢ 20,57²

Aus der Tabelle sind folgende Minimal-Maximal-Grenzen, für die geozentrische Breite, ersichtlich:

für 296 £ n £ 300 Þ 29° 58¢ 19,22² £ y £ 29° 58¢ 20,57²

Daher gilt für die geozentrische Winkeldifferenz: D y = 1,35²

Durch Umrechnung lassen sich die geographischen Minimal-Maximal-Grenzen ermitteln:

für 300 > n > 296 Þ 30° 08¢ 17,66² £ j £ 30° 08¢ 24,4²

Also beläuft sich die geographische Winkeldifferenz auf: D j = 6,74². Das entspricht einer Strecke von etwa 208,5 Meter

Ausgehend von einem Rotationsmodell für die Erde, hätten wir hier sogar weitere zwei ausgezeichnete Breitengrade vor uns mit:

11.0	Das harmonische Mittel
11.1	Das harmonische Mittel und die Ellipse
11.2	Ableitung des Schnittpunktes
11.3	Numerische Auswertung