Bestimmung des Basisumfanges der grossen Pyramide

GIZEH - GEODÄTISCHE ERKENNTNISSE

5 - BESTIMMUNG DES BASISUMFANGES DER GROSSEN PYRAMIDE

5.1 - Ein erster Ansatz

In diesem Kapitel soll nun eine Bestimmung des Baisumfanges erfolgen. Und zwar auf eine Art und Weise, wie sie im naturwissenschaftlichen Bereich üblich ist, wenn aus vorhandenen Meßwerten eine Gesetzmäßigkeit abgeleitet werden soll.

Alle bisherigen Berechnungen des Pyramidenumfanges beziehen lediglich den Äquatorumfang mit ein. Da die Erde keine Kugel ist, existiert aber nicht nur ein Durchmesser. In erster Näherung läßt sich die Erdgestalt durch eine Ellipse darstellen, die um ihre kleine Achse, also die Polachse rotiert. Solch ein Rotationsellipsoid wird auch Sphäroid genannt.

Da Pol- und Äquatorradius voneinander unterschiedlich sind, werden in den folgenden Rechnungen natürlich auch beide verwendet. Dabei ist a die große Halbachse bzw. der Äquatorradius, b ist die kleine Halbachse bzw. der Polradius.

Modelle der Erde, die Sphäroide als Grundlage verwenden, heißen geodätische Systeme, und sind im vorherigen Kapitel ja eingehend erläutert worden. Da im Laufe der Zeit verschiedene geodätische Systeme benutzt worden sind, wird hier nicht nur eines, sondern gleich mehrere von ihnen verwendet. Dies hat den Zweck bessere Vergleichsmöglichkeiten zu erhalten, und dadurch Grenzen besser bestimmen zu können. Daher noch einmal eine kleine Übersicht der Werte, für die Systeme, die hier benutzt werden.

Jahr der Einführung	Geodätisches System	2b	2a	n
1841	Bessel	12712160	12754790	299
1909	IRE	12713824	12756776	297
1961	WGS	12713554	12756326	298,24
1967	IUGG	12713550	12756320	298,25
1976	GRIM2	12713540	12756310	298,255
1977	Enz. Brit.	12713550	12756360	298

Tabelle 5.1

Wenn die große Pyramide in Relation zu Erddaten steht, ist es durchaus sinnvoll die Umfänge bzw. Achsen der Erde zu gebrauchen. Ein erster allgemeiner Ansatz um den Basisumfang U_B der großen Pyramide von Gizeh zu erhalten, besteht dann darin, den (entsprechenden) Erdumfang U durch einen bestimmten Faktor k zu teilen. Mathematisch, also durch eine Gleichung ausgedrückt:

U_A ist der Äquatorumfang mit U_A = 2·a·pi
U_P ist der Umfang der Erde, über die Pole gemessen, mit U_P = 2·b·pi

Genau genommen ist der Umfang über die Pole ein Ellipsenumfang mit U_E = 2·a·pi ·gamma
gamma ist dabei ein Umfangsfaktor, der abhängig von den Achsen ist U_E= 2·b·pi ·gamma ·f^-1

Dieser Ellipsenumfang wird in die Betrachtung mit einbezogen, und als Gleichung läßt sich das in Übereinstimmung mit der bisherigen Ausdrucksweise so formulieren:

Die Fehlerbetrachtung in Kapitel 4 ergab für den Basisumfang der großen Pyramide, den von Cole gemessenen Wert, versehen mit erweiterten Fehlergrenzen:

U_B : 921,453072 m ± 0,006 m

921,447 m < U_B < 921,459 m

Mit den Achsen-Werten der geodätischen Systeme und dem gemessenen Umfang läßt sich eine erste quantitative Bestimmung des Faktors k durchführen. Die oben aufgestellten Gleichungen für den Basisumfang brauchen nur nach k umgestellt zu werden:

Und durch Einsetzen der Werte aus den geodätischen Systemen und dem gemessenen Basisumfang in die Gleichungen für den Faktor k ergibt sich:

Jahr der Einführung	Geodätisches System	k_P	k_A	k_E

1841	Bessel	43340,70793	43486,05022	43413,36147
1909	IRE	43346,38116	43492,82127	43419,63184
1961	WGS	43345,46062	43491,28704	43418,40436
1967	IUGG	43345,44698	43491,26658	43418,38638
1976	GRIM2	43345,41289	43491,23249	43418,35357
1977	Enz. Brit.	43345,44698	43491,40296	43418,46142

Tabelle 5.2

Aus dieser Tabelle läßt sich eine erste Eingrenzung für k erstellen:

43340 < k_P < 43347

43486 < k_A < 43493

43413 < k_E < 43420

Wie zu sehen ist, liegt der Faktor k tatsächlich in der Nähe der Zahl 43200. Als Konstruktionsvorschrift für den Umfang der großen Pyramide von Gizeh wird ja immer wieder folgende Rechnung angegeben: Man nehme den Umfang der Erde und teile ihn durch 43200.

Schränkt man die Betrachtung auf die moderneren Systeme ein, also ohne Bessel und IRE, dann lassen sich die Grenzen sogar noch etwas einengen:

43345 < k_P < 43346

43491 < k_A < 43492

43418 < k_E < 43419

Die Zahl 43200 wird oft als Zeitfaktor (1/2 Tag = 43200 Sekunden) interpretiert. Wie aber schon in der Einleitung erörtert, wird hier davon abgesehen, da keinerlei Hinweise vorhanden sind, die dieses unterstützen könnten. Logischer ist, von der normalen Kreisteilung in Grad, Minuten und Sekunden auszugehen.
Ein Kreis besteht aus 360 Grad, wobei jedes Grad 60 Minuten enthält, und jede Minute wiederum 60 Sekunden besitzt. Insgesamt verfügt ein Kreis also über 360·60² = 1.296.000 Bogensekunden.
Um auf den Wert 43200 zu gelangen, muß durch 30 geteilt werden. Das heißt, bei dieser Art der Interpretation würde es sich um einen rein geometrischen Winkel von 30 Bogensekunden handeln.
Da in der Bestimmungsgleichung für den Basisumfang der Term 2·pi erscheint, ließe sich der Winkel sogar in Bogenmaß darstellen.

5.2 - Verfeinerung des Ansatzes

Für einen verfeinerten Ansatz kann man nun folgendermaßen vorgehen: Als Näherungswert wird 43200 angesetzt, und der Faktor k wird von jetzt ab sozusagen als Korrekturfaktor für den Wert 43200 betrachtet. Dieser Ansatz sieht dann so aus:

Die einzelnen Gleichungen werden wieder jeweils nach k umgestellt :

Durch Einsetzen der Werte aus den geodätischen Systemen und dem gemessenen Wert für den Basisumfang in die Gleichungen für den Faktor k erhält man dann folgende Tabelle:

Jahr der Einführung	System	k_P	k_A	k_E

1841	Bessel	1,003257128	1,006621533	1,004938923
1909	IRE	1,003388453	1,006778270	1,005084070
1961	WGS	1,003367144	1,006742756	1,005055656
1967	IUGG	1,003366828	1,006742282	1,005055240
1976	GRIM2	1,003366039	1,006741493	1,005054481
1977	Enz. Brit.	1,003366828	1,006745439	1,005056977

Tabelle 5.3

Aus der Tabelle 5.3 lassen sich die maximalen Grenzen der k-Faktoren ableiten:

1,00325 < k_P < 1,00339

1,00662 < k_A < 1,00678

1,00493 < k_E < 1,00509

Schränkt man die Betrachtung auch hier auf die moderneren Systeme ein, also ohne Bessel und IRE, dann lassen sich die Grenzen noch weiter einengen:

1,003366 < k_P < 1,003368

1,006741 < k_A < 1,006746

1,005054 < k_E < 1,005057

Wird (wie leider allgemein üblich) der Faktor k gleich 1 gesetzt, so erhält man, (bei weiterer Rechnung mit dem Äquatorradius), etwa den von Fix errechneten Wert für den Sockelumfang.

Über den Basisumfang ist damit aber noch nichts ausgesagt. Die nahe 1 liegende Größe für den Korrekturfaktor k scheinen den meisten Pyramidenforschern nichts zu sagen. Hat man sich jedoch ein wenig mit Ellipsenmathematik bzw. geodätischen Systemen beschäftigt, so kommt einem diese Faktor- größe irgendwie bekannt vor !

5.3 - Quantisierung des Ansatzes

Vergleicht man nämlich mit den Parametern aus den geodätischen Systemen, so ist nun relativ einfach zu zeigen, das k_P etwa in der Größe des Kehrwertes des Formfaktors f_o liegt. Bei k_A handelt es sich etwa um das Quadrat des Kehrwertes des Formfaktors f_o. Hier die Werte für die Terme des Formfaktor :

Jahr der Einführung	System

1841	Bessel	1,003355705	1,006722670
1909	IRE	1,003378378	1,006768169
1961	WGS	1,003364285	1,006739888
1967	IUGG	1,003364172	1,006739662
1976	GRIM 2	1,003364115	1,006739547
1977	Enz. Brit.	1,003367003	1,006745343

Tabelle 5.4

Bildet man aus der Tabelle 5.4 die maximalen Intervalle, so erhält man:

1,003355 <

< 1,003379

1,006722 <

< 1,006769

Bildet man aus der Tabelle die Intervalle mit den Werten aus den moderneren Systemen, so erhält man:

1,003364 <

< 1,003368

1,006739 <

< 1,006746

Hier noch mal die maximalen Grenzen der k-Faktoren:

1,00325 < k_P < 1,00339

1,00662 < k_A < 1,00678

Einschränkung der k-Faktoren auf die moderneren Systeme, also ohne Bessel und IRE, ergibt:

1,003366 < k_P < 1,003368

1,006741 < k_A < 1,006746

Durch Vergeich läßt sich eine ziemlich gute Übereinstimmung zwischen den k_P und k_A Faktoren und dem Formfaktor f_o sowie deren Intervalle verzeichnen. Damit lassen sich jetzt folgende Relationen für die Korrekturfaktoren aufstellen:

Mit diesen Relationen lassen sich die Gleichungen für den Basisumfang der großen Pyramide nun folgendermaßen angeben:

Einsetzten der Werte aus den geodätischen Systemen in die Gleichung G1 liefert dann folgende Werte für den Basisumfang:

Jahr der Einführung	Geodätsches System	U_B-GeoSys
1841	Bessel	921,3625421
1909	IRE	921,4623238
1961	WGS	921,4556979
1967	IUGG	921,4555119
1976	GRIM2	921,4548391
1977	Enz. Brit.	921,4529113

Tabelle 5.5

Bildet man aus der Tabelle 5.5 die maximalen Intervalle mit den Werten, so erhält man:

921,3625 m < U_B-GeoSys < 921,4624 m

Einschränkung der Intervalle auf die modernen Systeme liefert:

921,4529 m < U_B-GeoSys < 921,4557 m

Zum Vergleich noch mal die Werte aus dem Fehleransatz:

U_B : 921,453072 m ± 0,006 m

921,447 m < U_B < 921,459 m

Wie zu sehen ist, stimmt das mit dem gemessenen Wert von Cole ziemlich gut überein. Die Abweichung liegt lediglich bei etwa 3 mm, und damit innerhalb der vorgegebenen maximalen Fehlergrenze, wenn man sich auf die modernen Systeme beschränkt.

Der Bessel-Wert ist fast 1 cm zu klein, und der IRE-Wert etwa 1 cm zu groß. Daher werden sie in den weiteren Betrachtungen zwar noch benutzt, aber in den Rechnungen kann man sich auf die modernen geodätischen Systeme beschränken.

Der Basisumfang läßt sich mit hinreichender Genauigkeit aus den Daten der modernen geodätischen Systeme ableiten (G1 und G2).

5.4 - Resultat

Der Formfaktor f_o ist definiert als: f_o= b/a

Einsetzen in die obigen Gleichungen G1 und G2, liefert eine einzige Gleichung. Und zwar:

Für die Radien der Schmiegekreise einer Ellipse gelten die folgenden Beziehungen. r₁ ist dabei der Radius des kleineren Schmiegekreises, r₂ entspricht dem größeren Schmiegekreis

Damit läßt sich die End-Gleichung für den Basisumfang auch so formulieren:

Das bedeutet also, das der Basisumfang der großen Pyramide nicht auf die Achsen der Erdellipse bezogen sind, sondern auf den kleinen Schmiegekreis. Dies ist durchaus sinnvoll, da dieser kleinere Radius auch als Parameter zur Beschreibung von Ellipsen in der Kegelschnittform benutzt wird. Es gilt ja: r₁ = p

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